La recta

CAPITULO II
-LA LINEA RECTA-

12.-VARIABLES Y CONSTANTES.-En todo problema de geometría analítica hay cantidades cuyo valor no cambia a las que se llaman constantes y se representan comúnmente con las primeras letras del alfabeto.
Hay otras cantidades que pueden tomar valores diferentes por lo que reciben el nombre de variables y se representan por la ultimas letras del alfabeto.

Ejemplos.En lalínea L1 , Fig 19 , la pendiente es una constante en cambio , las coordenadas de los puntos sobre la recta van cambiando continuamente , por lo tanto son variables.

El volmen de una esfera esta dada por la formula V= 4/3≈R3. En esta formula 4/3 y ≈ son constantes asi como el exponente 3 , mientras que “r” y “ V” pueden tomar valores diferentes y por lo tanto son variables. El valor de V dependedel que tenga “r” y se dice que “V” es una función de “r” .

13.-ECUACION CON DOS VARIABLES.-Si en una ecuación con dos variables se asignan valores a una de ellas y se encuentran los valores correspondientes de la otra, se obtienen parejas de números que pueden representarse por puntos en un sistema de eje coordenadas, La unión de esos puntos será la grafica de la ecuación. Se dice también quees el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación. Las coordenadas de cualquier punto sobre la grafica deben satisfacer la ecuación.

Ejemplos:
Encontrar las graficas de las ecuaciones siguientes;
1) Y=3x+4
Dando valores y situando los puntos respectivos se obtiene la graficas de la Fig. 20.
2) Y2= 4x
A cada valor de “x” corresponde dos valores de “y”.Ademas no puede haber valoresnegativos de “x” , pues darían resultados imaginarios para “y” por lo que la grafica resulta tal y como aparece en la Fig. 21







14.-ECUACION DE UNA RECTA, DADA SU PENDIENTE Y LA ORDENADA AL ORIGEN.- Sea un punto cualquiera (x,y) de la recta Fig.22; la pendiente “m” entre ese punto y (0,b) estará dada por :



Que es la ecuación de una recta en función de su pendiente “m” y la ordenada alorigen “b”. Como se dedujo esta ecuación se procede para encontrar la de cualquier lugar geométrico, es decir , se toma un punto (x,y) sobre el lugar geométrico y se relacionan sus coordenadas de modo que expresen las condiciones que rigen a dicho lugar geométrico.La ecuación resultante , que contiene a (x,y) y las constantes del problema es la ecuación del lugar geométrico.

Analizando la ecuación(5) se puede obtener las siguientes conclusiones:

1.-Si la recta pasa por el origen b=0 y la ecuación se reduce a y=mx.
2.-Si la recta es parapela al eje de las abscisas, la pendiente será igual a cero , m=0 , la ecuación será : y=b
3.-Si la recta no corta al eje de las ordenadas tendrá que ser paralela a dicho eje y por lo tanto todos los puntos de la recta tendrán la misma abscisa , luego suecuación es x=k(fig.23).







15.-DISCUSION DE LA ECUACION DE LA RECTA.-La ecuación de cualquier recta es de primer grado, porque cualquiera recta o corta al eje de las “y” y su ecuación es de la forma y=mx+b o es paralela a el y su ecuación es x=k , y ambas ecuaciones son de primer grado.
Ahora bien; siempre es posible reducir una ecuación de primer grado en “x” e “y” a la forma Ax + By + C =0Despejando “y” se tiene y= x - que

16.-ECUACION DE LA RECTA DADOS UN PUNTO DE LA MISMA Y LA PENDIENTE.-Sea (x1 , y1) el punto por el que ha de pasar la recta, m la pendiente y (x,y) un punto cualquiera de la línea ,Fig 26 ;la pendiente entre este punto y el (x1 , y1) esta dada por:

Que es la ecuación de la recta que pasa por (x1 ,y1) y tiene pendiente m.









17.-ECUACION DE LA RECTA DADOSDOS PUNTOS DE LA MISMA.-Sean (x1 , y1) y (x2 , y2) los puntos por donde ha de pasar la recta, (Fig. 27). La pendiente “m” queda determinada por los dos puntos dados, o sea












Y la ecuación de la recta con esta pendiente y pasando por el punto (x1 , y1) sera de la forma (6), entonces:



Ejemplo:
1) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,6) con pendiente m= -...