Limites, derivadas

Nombre:

Carrera:
¤
§
Funciones y Operaciones
¦
¥
e) (f ◦ g ◦ f )(−1)

1. Para cada una de las siguientes funciones calcular f (2),
f (−3) y f (0).
√
a) f (x) = x2 + 36

5. Sean f y g funciones cuyos valores en 1, 2, 3, 4 y 5 son
dados a continuaci´n. Complete la tabla.
o

b) f (x) = 4 sin( πx )
6

x
f (x)
g(x)
f (x) + 3
4g(x) + 5
g(x) − 2f (x)
f (x + 3)

c)

4,
−5 < x < −2,

2
f (x) =
x ,
−2 ≤ x ≤ 2,


−x + 6, x > 2
d)

 ln(|x|), x < −1,

 2
 x ,
−1 ≤ x < 0.5,
f (x) =
 −x2 ,
0.5 ≤ x ≤ 4,



−x + 6,
x>4

2
5
−8

3
7
5

4
0
2

5
−2
9

6
6
11

7
4
2

6. Sean f y g funciones cuyos valores en 1, 2, 3, 4, 5 y 6
son dados a continuaci´n. Complete la tabla.
o
x
f (x)
(g ◦ f )(x)
(f ◦ g)(x)(f ◦ f )(x)
(g ◦ g)(x)

2. Halle f + g, f − g, f g, para las funciones dadas. Establezca sus dominios.
√
√
a) f (x) = 3x + x − 1, g(x) = −x + 4 − x
x+3
x2 − 1
, g(x) = 2
x−1
x −9
c) f (x) = sin(2x), g(x) = −2 sin x cos x
b) f (x) =

d) f (x) =

1
4
6

1
3
5

2
1
2

3
2
6

4
5
1

5
6
2

6
3
4

£
 
Funci´n inversa ¡
o
¢

ex
e−x
, g(x) =
2
2Existen funciones que tienen la misma salida para diferentes entradas; por ejemplo para la funci´n
o
f (x) = x2 las entradas −2 y 2 tienen la misma salida f (−2) = f (2) = 4, lo mismo ocurre con la funci´n
o
sin(x) que tiene la salida 0 para las infinitas entradas
. . . , −3π, −2π, −π, 0, π, 2π, 3π, . . .. Una funci´n es ino
yectiva precisamente cuando esto no ocurre, es decir
cuando entradasdiferentes producen salidas diferentes.

f
g
y , para las funciones dadas. Establezca sus
g
f
dominios.

3. Halle

x−2
1
, g(x) =
x−5
x+3
√
b) f (x) = x + 4, g(x) = 2x + 5
√
c) f (x) = x2 + 8x − 33, g(x) = x

a) f (x) =

Definici´n. Una funci´n f es inyectiva en su domio
o
nio, si dos entradas diferentes x1 = x2 siempre tienen
salidas diferentes f (x1 ) = f (x2 ).

d) f(x) = sin(x), g(x) = cos x
4. Sean f (x) = 2x − 3 y g(x) = 3x2 + 4x. Halle:
a) (f ◦ g)(2)

Observaciones:

b) (g ◦ f )(2)

• Gr´ficamente se determina una funci´n inyectiva si
a
o
toda l´
ınea recta horizontal la corta en uno o ning´n
u
punto.

c) (f ◦ f )(5)
d) (f ◦ g)(−3)

1 de 6

• Toda funci´n inyectiva cumple que cada salida vieo
ne de exactamente una entrada, por tantose pueden intercambiar sin ambiguedad los papeles de las
entradas y las salidas.
• Si y = f (x) es una funci´n inyectiva entonces al
o
intercambiar los papeles de x y y y despejar la
variable y de esta ecuaci´n obtenemos una nueva
o
funci´n, llamada la inversa de f .
o
Definici´n. Sea f : R −→ R, una funci´n con dominio
o
o
Df y rango Rf . Si f es inyectiva, entonces la inversa
de f esuna funci´n g definida por:
o
i) El dominio de g es igual al rango de f : Dg = Rf .
ii) Si y = g(x) entonces x = f (y), g se llama la inversa de f y se denota con el s´
ımbolo f −1 que se
lee inversa de f.
7. Con la ayuda de un programa para trazar gr´ficas de
a
funciones, como Maple, Matlab, Mathematica, Maxima,
o el que viene en las calculadoras con interfaz gr´fica,
a
trazar lassiguientes gr´ficas y con la prueba de la recta
a
horizontal determinar cu´l o cuales son funciones inyeca
tivas.1

Observaciones:
1. Si y = f (x), x entrada y y salida, entonces para la
funci´n inversa f −1 se tiene: x = f −1 (y) donde y
o
es la entrada y x es la salida.

x2
x2 − 3
b) f (x) = x2 + 2x + 5

a) f (x) =

c) f (x) = x3 − 5x2
d) f (x) =
e) f (x) =

√

f ) f (x) = e|x + 2|
x+2

−2x

g) f (x) = ln(2x − 5)
h) f (x) = sin x
i) f (x) = cos x
j) f (x) = tan x
2. Df −1 = Rf , Rf −1 = Df .

8. Asuma que la funci´n dada es inyectiva en su dominio.
o
Halle la inversa.

3. Sean f y g dos funciones inyectivas. f y g son inversas la una de la otra, f −1 = g y g −1 = f ,
exactamente cuando se satisfacen las dos condiciones siguientes:

a) f (x) = 4x +...