Limites y continuidad

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Suponiendo que se pide dibujar la gráfica de la función


Para todo punto x ≠ 1 se puede trazar la gráfica por los métodos conocidos. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, se usa dos conjuntos de valores x, uno quese aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).

x se acerca al 1 por la izquierda  x se acerca al 1 por la derecha

x
0,9
0,99
0,999
1
1,001
1,01
1,1
f ( x )
2,71
2,9701
2,997001
¿?
3,003001
3,0301
3,31

f (x) se acerca al 3  f (x) se acerca al 3


La figura 1 es la gráfica de la función y como sepuede observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1 (Es de notar que ésta gráfica es la de la función  menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando). La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamentea un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, se dice que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, y se escribe.


DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como , si para cualquier, noimporta que tan pequeña sea, existe una  tal que si:

 entonces 

Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia  puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.

En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; se recuerdaque la función no necesita estar definida en a para que  exista.


Ejemplo 1:

1) Se utiliza la definición para demostrar que 
Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración.

Se debe demostrar que para cualquier  existe una tal que
si  entonces  (A)
si  entonces 
si  entonces 
si  entonces Entonces, si se toma  se cumple la proposición (A). Esto demuestra que 
Tomando,  luego, para esos valores de  y  los números x que pertenecen al intervalo abierto  verifican la proposición(A). En efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene:



Entonces



Esto verifica la proposición (A) para el valor específico tomado para x.
2) Demostrarusando la definición de límite que 
Como la función está definida en cualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el número 1, podemos aplicar la definición para realizar la demostración. En efecto,
si  entonces  (B)
si  entonces 
si  entonces 
si  entonces 
si  entonces 
Ahora, cuando x se acerca a 1, x +2 se acerca a 3, luego,  entonces,  por lo tanto,  De la proposición (B) seobtiene que, si  entonces  Si tomamos  se cumple la proposición (B), lo que demuestra que 


CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si, y sólo si, se cumplen las tres condiciones siguientes:
1) Que el punto x = a tenga imagen.

2) Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3) Que la imagen del punto coincida con el límite de lafunción en el punto.

(Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel).

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
1) Límite de una constante

2) Límite de una suma

3) Límite de un producto

4) Límite de un cociente

5) Límite de una potencia

6) Límite de una función

g puede...