limites

Límites y sus propiedades:
Supongamos que se nos pide esbozar la gráfica de la función f dada por

f ( x) 

x6 1
,x 1
x3 1
x tiende a 1 por izquierda
x
0,5
0,8
0,9
0,99
f (x) 1,125 1,512 1,729 1,97
f (x) tiende a 2

1
¿?

x tiende a 1 por derecha
1,001 1,01 1,05
1,1
2,003 2,03 2,157 2,331
f (x) tiende a 2

Al marcar estos puntos, resulta que la gráfica de f (x) tieneun hueco en el punto (1, 2). Aunque
x no puede hacerse 1, podemos ir tan cerca como queramos de 1 y, como consecuencia, f (x) se
hace tan próximo como queramos a 2. Usando notación de límites, decimos que el límite de
f (x) cuando x tiende a 1 es 2, y escribimos: lim f ( x)  2
x 1

f ( x) 

x6 1
x3 1

Esta discusión conduce a la siguiente definición informal de limite: Si f (x) seaproxima cada
vez más y arbitrariamente a un único número L cuando x se aproxima hacia c por ambos lados,
decimos que el límite de f (x) , cuando x tiende a c , es L, y escribimos
lim f ( x)  L
x c

Algunos límites básicos: si b y c son números reales y n un entero, (positivo si c = 0), entonces
se cumple:

2. lim x  c

1. lim b  b
x c

3.

x c

lim x n  c n
x c

4.lim
x c

n

x n c

Propiedades de los Límites:
Sean f , g dos funciones tales que lim f ( x)  L y lim g ( x)  M , esto es, si los dos límites
x c

x c

existen, entonces:
1. Múltiplo escalar: limbf ( x)  b lim f ( x)  b L
x c

x c

2. Suma o diferencia: lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  L  M
x c

x c

x c

3. Producto: lim f ( x)  g ( x) lim f ( x)  lim g ( x)  L  M
x c

x c

4. Cociente: si lim
x c

x c

f ( x) lim f ( x) L
 x c

, si lim g ( x)  0
x c
g ( x) lim g ( x) M
x c





5. Potencia: lim f ( x) n  lim f ( x) n  Ln
x c

x c

Casos de límites particulares: ciertos límites particulares que se presentan frecuentemente,
especialmente en el caso de las fracciones, se dan acontinuación: Sea k una constante no igual a
cero, entonces:
k

x 0 x

1. lim

2. lim kx  
x 

3.

x

x  k

lim

Ejemplo 1: Calcular, si existe, el siguiente límite: lim ( x 2  2 x  1)
x 2

Solución:

lim ( x 2  2 x  1)  (2) 2  2(2)  1  9
x 2

Ejemplo 2: Calcular, si existe, el siguiente límite: lim

x 4

3

x 2  3x  4
2x 2  x  1Solución:
Evaluando el numerador, tenemos: (4) 2  3(4)  4  8
Evaluando el denominador, tenemos: 2(4) 2  4  1  27

 lim 3
x 4

x 2  3x  4 3 8
2


2
27 3
2x  x  1

k
0
x  x

4. lim

z 2  25
z  5 z  5

Ejemplo 3: Calcular, si existe, el siguiente límite: lim

Solución:
Evaluando el numerador, tenemos: (5) 2  25  25  25  0
Evaluando el denominador,tenemos:  5  5  0
0
Por lo tanto, tenemos la forma
y debemos eliminarla factorizando el
0
numerador:
z 2  25
( z  5)( z  5)
 lim
 lim
 lim ( z  5)  5  5  10
z 5 z  5
z 5
z 5
z 5
Ejemplo 4: Calcular, si existe, el siguiente límite: lim

h  1

h5 2
h 1

Solución:
Evaluando el numerador, tenemos:  1  5  2  4  2  2  2  0
Evaluando el denominador,tenemos:  1  1  0
0
Por lo tanto, tenemos la forma
y debemos eliminarla racionalizando el
0
numerador:



 lim

h 1

 lim

h54

h 1





 lim

1

2

h5 2
h5 2
h5 2
h  5  (2) 2
 lim

 lim
h 1
h 1
h 1
h  5  2 h1 (h  1)( h  5  2)

(h  1)( h  5  2)
1

1 5  2

1



42



 lim

h 1

h 1
(h  1)(h  5  2)

h 1

h5 2

1
1

22 4
3

Ejemplo 5: Calcular, si existe, el siguiente límite: lim
h 0

h 1 1
h

Solución:
Evaluando el numerador, tenemos: 3 0  1  1  1  1  0
Evaluando el denominador, tenemos: h  0
0
Por lo tanto, tenemos la forma
y debemos eliminarla racionalizando el
0
numerador:
3
h 1 1
h 1 1
 lim
 lim

h 0
h 0
h
h
3

...