limites

Notas de Clase-Cálculo Diferencial
Límites
Prof. Esp. Nelson Martínez Herrera
De…nición Intuitiva
Consideremos la función f (x) = 2x2 x;veamos el comportamiento de
f cuando x toma valores cercanos a 2.Para ello contruyamos las siguientes
tablas:
x
y

1; 95 1; 96 1; 97 1; 98 1; 99 2
5; 66 5; 72 5; 79 5; 86 5; 93 ###

x
y

2
2; 01 2; 02 2; 03 2; 04 2; 05
### 6; 07 6; 14 6; 21 6;28 6; 36

En este caso,decimos que cuando x se acerca a 2,f (x) se acerca a 6.
Simbolicamente: cuando x ! 2; f (x) ! 6; lim f (x) = 6:
x!2
Ahora,si consideramos la función

y

2

1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-1

-2

g(x) = x 1 1 ; x ! 1
En este caso decimos que el límite no existe porque cuando x se acerca a
1 por la derecha,g va creciendo ycuando x se acerca a 1 por la izquierda,g
va decreciendo.Es decir,g toma valores distintos.
Observación:
1. Decir que lim f (x) = L signi…ca que cuando x está cerca de a,pero
x!a

diferente de a,f (x) está cerca de L.
1

2. La función no necesita estar de…nida en a para que el límite exista.La
noción de límite indica el comportamiento de f cerca de a,pero no
excatamente en a.
De…nición(Límites Laterales):
1. lim+ f (x) = L;signi…ca que cuando x está cerca de a por la derecha,f (x)
x!a

está cerca de L
2. lim f (x) = L;signi…ca que cuando x está cerca de a por la izquierda,f (x)
x!a

está cerca de L
3. Decimos que lim f (x) = L , lim+ f (x) = lim f (x)
x!a

x!a

x!a

Ejemplos:
4 x2 ; x 1
vemos que cuando
2 + x2 ; x > 1
x ! 1; lim g(x) = lim 2 + x2 = 2 + 1 = 3:+
+

1. Sea g la función de…nida por g(x) =
x!1

x!1

x2 = 4

Por otro lado, lim g(x) = lim 4
x!1

1 = 3:De donde concluimos

x!1

que lim g(x) = 3:
x!1

8
< p x + 5; x < 3
2. Sea f la función de…nida por f (x) =
9 x2 ; 3 x 3 vemos
:
3 x; x > 3
p
p
que cuando x ! 3; lim + f (x) = lim + 9 x2 = 9 ( 3)2 = 0:
x! 3

x! 3

Por otro lado, lim f (x) = lim x + 5 =
x! 33 + 5 = 2:De donde con-

x! 3

cluimos que lim f (x) no existe.
x! 3

De…nición Formal de Límite
Decimos que lim f (x) = L ,si para cada (épsilon)" > 0,existe un (delta) >
x!a

0 tal que jf (x) Lj < " siempre que 0 < jx aj < :
0 < jx aj esta parte nos garantiza que x 6= a:
2

De otra forma:
Si 0 < jx aj < ;entonces jf (x) Lj < ":
jx aj <
jf (x) Lj < "
2
8
< x + 1; x < 1
x2; 1 x 1
(b) f (x) =
:
2 x; 1 < x
2. Demuestre que
(a) lim 3x

7=5

x!4

2

(b) lim 2x x
x!2

3x:2
2

p
2x 1
p
x!4 x 3

(c) lim

=5
p
= 7

Teoremas sobre Límites
Si f y g son dos funciones tales que lim f (x) = L1 y lim g(x) = L2 ;entonces:
x!a

x!a

1. lim kf (x) = klim f (x) = kL1 ; k constante
x!a

x!a

2. lim (f (x)
x!a

g(x)) = lim f (x)

lim g(x)= L1

x!a

x!a

L2

3. lim (f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x) = L1 L2
x!a

4. lim

x!a

x!a

f (x)
g(x)

=

lim f (x)

x!a

lim g(x)

x!a

=

x!a

L1
; L2
L2

6= 0

5. Si Q(x) es un polinomio,entonces lim Q(x) = Q(a)
x!a

h

in
n
6. lim [f (x)] = lim f (x) = Ln
1
x!a

7. lim

x!a

p
n

f (x) =

x!a

q
n

lim f (x) =

x!a

p
nL1 ; n impar.Si n es par,L1 > 0
4

Ejemplos:
Calcular los siguientes límites
3

1. lim x
x
x!1

1)(x2 +x+1)
x 1

= lim (x

1
1

x!1

2

2. lim x x x3 6 = lim (x
x!3

3. lim (2+h)
h

2

4

h!0

4. lim

3)(x+2)
x 3

x!3

p

x!0

x+2
x

= lim 4+4h+h
h

p

2

p

= lim

x!0

= lim
x!0

= lim
x!0

x 1
x!1 x 1

= lim x + 2 = 5
x!34

= lim h(4+h) = lim 4 + h = 4
h
h!0

p

x+2
x

2

h!0

p
p
x+2+p2
p
;porque
x+2+ 2

=

p

(

1 p
x+2+ 2)

=

1
p

2 2

p
3 2 p
x + 3 x+1
p
;porque
3 2 p
x + 3 x+1
p 3
3
( px) 1
lim (x 1) 3 x2 + px+1
3
(
)
x!1
1)(

x!1

= lim

x!1 (

p
3

b2

x+2 2
p
p
x( x+2+ 2)

p
3

= lim (x

b)(a + b) = a2

p 2
2
x+2) ( 2)
p...