Limites

Resumen: Límites
lim f ( x)  f (a) siempre que se pueda sustituir x = a sin problemas en la
x→a

expresión de f(x)

Los casos en los que no se puedan sustituir es: cuando tengamos k ≠ 0 = ∞
0

Es indeterminado el signo del ∞ y depende de la regla de los signos.

Ejemplos:





















1)





























lim

x  1

4

−∞
* para ver el signo se sustituye en 2'9x  1






−

x − 3 *
0
−










x→3












lim


 ?
∞





x  1

4

























x→3 x − 3


lim




∞
* * para ver el signo se sustituye en 3'1





























x − 3 **
0












x→3












2) lim

x


1









porque el denominador es siempre +




2















x→1 ( x − 1)


0Los casos de indeterminación que son








∞ - ∞ ,
0
,

∞
, 0. ∞ , 1∞ , 00 , ∞0





























0




∞



Indeterminaciones


0


P( x)

P(a)
0



( x − a) ⋅ ?



de funciones polinómicas:
lim






=
lim

















0

x→a Q( x)
Q(a)
0


x→a ( x − a) ⋅ ?

Se divide por Ruffini numerador y denominador entre x-a y se calcula el límite en la expresiónsimplificada.

Ejemplos















0







































2




















































0
































1) lim



2 x

 3x  1







( x 
1) ⋅ (2 x  1)








2 x  1



− 1

1















 lim



 lim






















































x→ −1 − 4 x 3 − 4 x 2  x  1 * x→ −1 ( x  1) ⋅ (−4 x 2  1)


x→−1 − 4 x 2  1− 33




* Dividimos numerador y denominador entre x+1 por Ruffini















2
3
1














-4
-4
1
1
































































-1



-2 -1











-1


4 0
-1






















2
1
0














-4
0
1

0



















2)0































0



− x 4
 4 x 3 − 16 x  16






( x − 2) ⋅ (− x 3  2 x 2  4 x − 8)


− x 3  2 x 2  4 x − 8







0








0


lim










 lim
















 lim
















3

2










2










2





x→ 2








* x→ 2
















x→ 2




*



x

− 3x  4


( x −
2) ⋅ ( x − x − 2)



x − x − 2= lim
( x − 2) ⋅ (− x 2
 4)
 lim
− x 2  4

0
 0




















































x→ 2


( x − 2) ⋅ ( x  1)


x→ 2

x  1
3

















































* Dividimos numerador y denominador entre x-2 por Ruffini




-1
4
0
-16
16






1
-3
0
4
























































2


-2
4
8
-16
2



2
-2
-4









-1
2
4-8

0



























1
-1
-2


0




2


-2
0
8



















































2



2
2





































-1
0
4
0


















0
















1
1


0







































de funciones irracionales: se multiplica numerador y denominador por el


0


































conjugadoEjemplos
























1)































0










x − 2 x 2 − 1




( x − 2 x 2 − 1) ⋅ ( x  2 x 2 − 1)



x 2 − (2 x 2

− 1)







































0





















lim

 lim

 lim





























x→1
x − 1
x→1
2
x→1
2














( x − 1) ⋅ ( x  2 x − 1)










( x − 1) ⋅ ( x 



2 x − 1)− x 2  1














( x − 1) ⋅ (− x − 1)






− x − 1






− 2






 lim



 lim


 lim





 −1
















2








2



2





2









x→1

( x − 1) ⋅ ( x  2 x


− 1)

x→1
( x − 1) ⋅ ( x  2 x


− 1)

x→1
x 



2 x


− 1





















































2)



0









3 − x  9






(3 − x  9 ) ⋅ (3  x  9...