Logaritmos

Pontificia Universidad Cat´olica de Chile
Centro de Alumnos de Ingenier´ıa 2009
Preuniversitario de Ingenier´ıa

´
Algebra
Gu´ıa No 16

LOGARITMOS
1.

Loga... ¿qu´
e?

El logaritmo de un n´
umero real positivo b en base a, positiva y distinta
de 1 , es el n´
umero m a que se debe elevar la base para obtener dicho n´
umero.
Lo escribimos,
loga b = m ⇐⇒ am = b, con a, b ∈ R+ y a = 1.
Se lee: ”ellogaritmo de b en base a es m”.
Ojo 1 En algunos textos b se denomina argumento del logaritmo.
Ojo 2 Es muy importante tener siempre en mente esto ya que luego, si nos
enredamos podemos recordar de qu´e estamos hablando.
Ojo 3 De ahora en adelante, log 10 b = m es simplemente log b = m. Tambi´en
log e b = ln b, donde e = 2, 71828 . . . es la constante de Neper.
Ejemplo 1 Como 23 = 8 entonces log 2 8= 3.
Ejemplo 2 Como 102 = 100 entonces log 100 = 2.

2.

Propiedades
Veamos algunas propiedades de los logaritmos
1. loga 1 = 0
2. loga a = 1
3. loga (b · c) = log a b + loga c
4. loga

b
c

= loga b − log a c

5. loga bm = m loga b
√
1
loga b
6. loga m b = m
Ojo 4 Una consecuencia directa de la propiedad 5 es que log a am = m loga a = m · 1 = m.

1

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Ojo 5 Una propiedad que no est´
a inclu´ıda en el temario de la PSU, pero
puede ayudar en algunos ejercicios es la propiedad del cambio de base:
Si c ∈ R tal que c = 1, entonces
log a b =

3.

log c b
.
logc a

Funci´
on Logaritmo
Se define la funci´
on logaritmo como
f

:

R+
x

→
→

R
log a x

donde a ∈ R+y distinto de 1. Su gr´afico var´ıa dependiendo si a > 1
o´ 1 > a > 0.
Si a > 1, entonces el gr´afico es de la forma
y
4

3

f (x) = log 2 x

2

(2, 1)

1

 

(1, 0)
0
 

x
-1

-2

-3
-1

0

1

2

3

4

5

2

6

7

8

9

10

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En cambio, si 1 > a > 0, entonces elgr´afico es de la forma
y
3

2
1
2, 1

1
✁

(1, 0)

0
✁

x
-1

-2

-3

f (x) = log 1 x
2

-4
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ojo 6 El gr´
afico de la funci´
on logar´ıtmica siempre pasa por los puntos
(1, 0) y (a, 1).
Ojo 7 El gr´
afico de la funci´
on logar´ıtmica nunca toca al eje y (el mismo
caso que la exponencial con respecto al eje x).
Ojo 8 La funci´
on logar´ıtima es una funci´
oncont´ınua. Si a > 1 entonces es
una funci´
on creciente, en cambio, si 1 > a > 0, es una funci´
on decreciente.
Ojo 9 En general, la funci´
on logar´ıtima posee un crecimiento bastante lento
comparado con cualquier funci´
on que hayamos estudiado hasta este momento.

3

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4.

EjerciciosSin calculadora. Marcar s´olo 1 alternativa.
1. log5 125 = 3 expresado en forma exponencial es
a) 35 = 125
1

b) 5 3 = 125
c) 53 = 125
1

d) 125 5 = 3
e) 125−3 =

1
5

2. 33 = 27 expresado en forma logar´ıtmica es
a) log3 27 = 3
b) log27 3 = 3
c) log 1 27 = 3
3

d) log 1 3 = 27
3

e) log3

1
3

= 27

3. log 3 · 3−1 =
a) −1
b) 0

c) 1
d) 9−1
e) −9
4. logm

m2 + m
=
m+1

a) 2m
b) m + 1
c) m
d) 1
e) 04

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5. log3
a)

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=

1
3

b) −

1
3

c) 2
d) −2
√
e) 3 9
6. log3 5 + log 3 7 =
a) log3 5 · log3 7
b) (5 · 7)3
c) 33 5

d) log3 12
e) log3 35
7. Si log2 m − log2 n = 5, entonces

m
es igual a
n

a) 10
b) 25
c) 32
d) 64
e) 128
8. log 3 +log 4 − log 2 escrito como el logaritmo de un n´
umero es
a) log 5
b) log 6
c) log 10
3
d) log
2
3
e) log
8

5

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9. log2

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1
=
8

a) 3
b) 2
c) 0
d) −2

e) −3
√
10. log4 4 4 =
a)

1
4

b) 1
c) 4
d) 16
e) otro valor.
1
11. − log3 2 =
5
a) log3 2−5
b) −5 log3 2−1
√...