Lug geometrico de las raices

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4

Lugar Geométrico de las Raíces.
La ubicación de los polos en sistemas lineales contiene la información relevante de éste. En efecto, a partir de ésta se puede concluir de su estabilidad y características dinámicas y estáticas. En este capítulo se revisa el concepto de Lugar Geométrico de las Raíces como el gráfico de la ubicación de lospolos de un sistema lineal. En particular, se revisan técnicas para bosquejar esta ubicación a partir de la F. de T. en L.D. como función de un parámetro del sistema. Normalmente, este parámetro corresponde a la ganancia del controlador.

4 6 8 Se observa que, 2

2 j 2 2

2 j 2

2

j2

2

j2

para k = 0 se tiene que las raíces en L.C. son las raíces en L.D., a medida que k aumenta,las raíces del polinomio en L.C. se mueven por ramas, por lo que hay un número de ramas que es igual al número de raíces, el cual a su vez es igual al orden del polinomio característico.

5

Si ahora por ejemplo la F. de T. en L.D. es,

0

4.1 Introducción.
Sea la planta en L.C. como se muestra en la Fig.4.1(a). La F. de T. en L.D. es, l ( s) k s ( s 4) , con r(s) = 1.

l ( s)

k ( s2) , ( s 1)

con r(s) = 1,
5

hay un polo en -1 y además hay un cero en 2. La F. de T. en L.C. sería, y ( s) y d ( s) kg 1 kgr k ( s 2) k ( s 2) ( s 1) k ( s 2) , s (k 1) 2k 1 1 k

3

2

1

0

1

( s 2) Fig. 4.2 L.G.R. de 1 k = 0. ( s 1)

y por lo tanto las raíces en L.A. son s1,2 = 0 y 4. La F. de T. en L.C. es, y( s) yd ( s) kg 1 grk k s ( s 4) k s2 k , 4s k 2 4 k , las cualesdependen de k.

por lo que el polinomio característico es 1 + l(s) = s( k 1) 2k 1 0 , por lo tanto, hay un polo en s1 -

( s 2) ( s 1)

=

s 1 k ( s 2)

=

y por lo tanto las raíces en L.C. son s1, 2

( 4

16 4k ) / 2

2k 1 , de esta expresión se concluye que, k 1

Algunos valores se muestran en la tabla siguiente y la gráfica que se denominará el lugar geométrico de las raíces(L.G.R.) en la Fig.4.1(b). k 0 2
2

para k = 0 se tiene que el polo en L.C. es el polo en L.D.. el polo viaja al cero a medida que k aumenta.

s1 4
2 2

s2 0
2

Por ejemplo, se estudia el caso de la F. de T. en L.D. dada por,

0 5 5

0

5

0

0

yd +

k

1 s(s + 4)

y

0

5
5

5

8
5 0

6

4

2

0

2

8

6

4

2

0

2

(a) Fig. 4.3L.G.R. de 1 kgr ( s )
1 k

(b)
s( s
( s 4 3 j )( s 4 3 j ) 2)( s 6)( s 5 6 j )( s 5 6 j ) 0 ; (a) k positivo, (b) k negativo.

(a)

(b)

Fig.4.1 Sistema en L.C. y su L.G.R. en función de k; (a) diagrama, (b) L.G.R..

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x1(t) d x2(t)

M
yr

u
m

k1

yd + kc

u

suspensión automóvil

y

x Ax bkc ( yd y ) ep, y cx , loque es simplificado a x ( A kc bc)x bkc yd ep, y cx . Es decir, la ubicación de los polos está dada por la ubicación de los valores propios de la matriz A- kcbc. Los resultados se ilustran en la Fig. 4.4, de éstos se puede concluir que el sistema siempre oscila en L.C., para valores altos de kc se hace inestable en L.C. La Fig. 4.4(e) muestra la simulación para un cambio en la referencia y luego enla perturbación (camino). Claramente, el sistema oscila inaceptablemente.

k2
(a)

yr(t)
(b)

El método del L.G.R. es una técnica gráfica para determinar los polos de la F. de T. en L.C. h(s) a partir de la F. de T. en L.D. l(s) conforme varía uno de los parámetros del sistema. Este método proporciona un gráfico que permite estudiar, 0 0

0 50 50

0

estabilidad dinámica estadoestacionario sensibilidad diseño

polos en el S.P.I./S.P.D.. ubicación de polos en el diagrama (complejos: oscilaciones). error en estado estacionario en el diagrama (polos en el origen). variación del L.G.R. en función de algún parámetro. ubicación de los polos.

0 0

Desafío: bosquejar el L.G.R. de la F. de T. en L.C. a partir de la F. de T. en L.D. en forma rápida. Para esto existe el Método...