MÁXIMOS Y MÍNIMOS



UNIVERSIDAD AUTÓNOMA “BENITO JUÁREZ” DE OAXACA.

ESCUELA PREPARATORIA NÚMERO TRES.

CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL

Profesor:
Ing. Iván Martínez Granados.
Alumna:
Gemma Gabriela Barragán Mora.

5º Semestre Grupo “E”

CICLO ESCOLAR: 2013-2014 Semestral

H. Cd. De Huajuapan de León, Oaxaca. Viernes 13 de Diciembre del año 2013.


Índice












1. VALORESEXTREMOS

1.1 Máximos y Mínimos












En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremoglobal o absoluto). De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

La determinación de los valores máximos y mínimos de una función, es uno de los logros de la gran potencia que tiene el Cálculo.Tomemos f(x) como una función de x. El valor de x para el cual la derivada de f(x) con respecto a x es igual a cero, corresponden a los puntos de inflexión de la función f(x) donde sus valores son máximo y mínimo.

La derivada de una función puede ser interpretada geométricamente como la pendiente de la curva de la función matemática y(t), representada la derivada en función de t. La derivada espositiva cuando una función es creciente hacia un máximo, cero (horizontal) en el máximo, y negativa justo después del máximo. La segunda derivada es la tasa de cambio de la primera derivada y es negativa en el proceso que se acaba de describir, puesto que la primera derivada (la pendiente), siempre es cada vez más pequeña. La segunda derivada es siempre negativa en la "joroba" de una función, quecorresponde a un máximo de la función.









1.1.1 Extremos relativos o locales







Los extremos relativos también se denominan óptimos locales; dando lugar a los términos máximo local o mínimo local.

Extremos relativos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
Si f'(a) = 0.
Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativos

Si f y f' son derivables en a,a es un máximo relativo si se cumple:
f'(a) = 0
f''(a) < 0



Mínimos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:
f'(a) = 0
f''(a) > 0


1.1.1.1 Condición necesaria de un extremo relativo (condición de primer orden)

Si f(x) es una función derivada en un punto xo€D y xo es un extremo relativo de f, entonces f’(xo)=0.
Esta condición es necesariapero no es suficiente; por ejemplo, f(x)=x3 tiene como derivada f’(x)=2x2 que se anula en x=0 y sin embargo, es estrictamente creciente en x=0 por lo que no tiene extremo en dicho punto.
Se dice que xo es un punto crítico de f si f’(xo)=0 o no existe f’(xo).
Los extremos relativos de f son puntos críticos, pero no todo punto es extremo relativo. Nótese que los puntos candidatos a ser extremosrelativos están entre aquellos que verifican la condición necesaria anterior y aquellos donde la función derivada no existe.


1.1.1.2 Condición suficiente de un extremo relativo (condición de segunda orden).

Si f es una función con derivada segunda continua en xo y f’(xo)=0 se verifica.
a) f’’(xo) > 0 → f tiene en xo un mínimo relativo estricto.
b) f’’(xo) < 0 → f tiene en xo unmáximo relativo estricto.
Otra forma de determinar lo que ocurre en un punto crítico xo en el que f es continua, es estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en puntos muy próximos a xo, situados antes y después de él. Así,
I. f tiene en xo un máximo relativo estricto:
a) f estrictamente creciente en puntos x próximos a xo con xxo.
II. f tiene en xo un mínimo relativo estricto:...