Método de newton raphson

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Métodos Numéricos

Método de Newton – Raphson
Este método esta ampliamente aceptado como uno de los mejores métodos para generar las raíces de la ecuación f(x)=0. Los excelentesresultados que generalmente se obtienen y el simple procedimiento en que se basa, justifica su popularidad. El método puede aplicarse para encontrar las raíces reales y complejas de f(x)=0, y lasiteraciones convergen rápidamente si la aproximación inicial esta lo sufientemente cerca de la raíz. El método se basa en encontrar la pendiente de la función f(x) para un valor inicial de x1 muy cercano a laraíz. Continuando la pendiente hasta que esta cruce el eje x; en la intercepción tendremos un valor de x2 mejorado y más cercano a la raíz. Con este nuevo valor encontrar una pendiente nueva, y asísucesivamente hasta que una de las pendientes converja con la raíz o dos valores consecutivos de la raíz aproximada difieran de una cantidad menor que cierto valor preestablecido (precisión) que controleel error permisible en la raíz.

f(x1)

Raíz f(x3)

f(x2)

x3

x2

x1

Desarrollo Matemático La pendiente de la función f´(x) para x=x1 esta dada por:

f ' ( x1 ) 

f ( x1 )  0 x1 x2

conocemos x1, f(x1) y f ‘(x1), x2 es una aproximación a la raíz mejorada, por tanto
x2  x1  f ' x1  f x1 

jgog

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Repitiendo el desarrollopara x3
x3  x 2  f ' x2  f  x3  f x2 

Para x4
x 4  x3  f '  x3 

Para la n-sima iteración:
f xn 

xn1  xn 

f ' xn 

Analizando la formula de recurrencia de Newton,podemos observar que conforme nos vamos acercando a la raíz, la función fx) tiende a cero por lo que el termino f(xn)/f´(xn), también tiende a cero, entonces la formula de Newton se reduce a:

xn1  xnpor lo que la prueba de convergencia es:

xn1  xn   ps
Donde ps es la precisión prestablecida.

Secuencia de operaciones
1. Tabular y/o graficar la función 2. Establecer la primera...