Método De Newton Raphson

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
UNIVERSIDAD CENTROOCCIDENTAL “LISANDRO ALVARADO”
DECANATO DE INGENIERIA CIVIL
BARQUISIMETO – LARA
































Barquisimeto, 2010

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

En análisis numérico el método de Newton Raphson es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces deuna función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. Este método fue descrito por Isaac Newton; sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculabauna secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo. El Método de Newton Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a laraíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverjaaumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.
Ejemplo: Sea f : [a, b] ->R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n.


Donde f ' denota la derivada de f.
Se nota que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita cognoscible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raícesde la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, entre otros.

Obtención del Algoritmo
Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson. La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de lasecante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto decorte de la tangente con el eje X). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x0, f (x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x0). La nueva aproximación a la raíz, x1, se logra la intersección de la función lineal con el eje X de ordenadas. Matemáticamente:

La función f se demuestra en azul y lalínea de la tangente de rojo. Vemos que xn + 1 es una aproximación mejor que xn para la raíz x de la función f. En esta figura se puede ver que xn + 1 es una mejor aproximación que xn para el cero (x) de la función f.

Una forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f(x) en serie de Taylor, para un entorno del punto xn:


Si se trunca el desarrollo a partir del término...