MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

1. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON


















Despejando P de esta Ecuación tenemos



Esto nos prepara para introducir el método de Newton Raphson, el cual comienza con una aproximación inicial P0y genera la sucesión definida por:















PROPIEDADES

El método de Newton Raphson es de convergencia cuadrática:







Entonces:
Por el polinomio de Taylor alrededor de xo = Pn tenemosSi X = P tenemos






Entonces Reemplazando (1) tenemos

Lo cual indica que el error es de razón cuadrática, por lo tanto elmétodo se va reduciendo cuadráticamente.

2. MÉTODO DE LA SECANTE

El problema del método de Newton Raphson consiste en la necesidad de hallar el valor de la derivada de f en cada aproximación; paraevitar este problema se hace una pequeña modificación.



















Por definición de derivada se tiene:



De acuerdo con el método de Newton Raphson tenemos


Luego
Esta técnica recibe elnombre de MÉTODO DE LA SECANTE
EJERCICIOS PROPUESTOS (MÉTODO DE NEWTON–RAPHSON Y DE LA SECANTE)


NEWTON–RAPHSON MEJORADO

Otra alternativa también sugerida por Ralston y Rabiowitz (1978), es la dedefinir una nueva función U(x), que es el cociente de la función y su derivada, esto es: se puede demostrara que esta función tiene raíces en las mismas posiciones que la función original. Por lo tanto,se sustituye U(x) en la ecuación de Newton–Raphson y de esta forma hallar una forma alternativa de este método; reemplazando tenemos el MÉTODO DE NEWTON–RAPHSON MEJORADO:
Hallar x2 dado que x0 = 0para
Completar la siguiente tabla Partiendo de los siguientes valores de acuerdo al método x0 = 0, x1 = 1 Raíz 0.56714329. Realizar la gráfica siguiente:
Eje Y (Error relativo Porcentual), Eje X(Iteraciones) y explique ¿Cuál de estos métodos es más eficaz y porque?
Dado el siguiente Polinomio hallar el número de raíces reales diferentes que tiene.

A continuación veremos dos métodos utilizados...