mate limites y derivadas

Matem´tica para Administradores II
a

C´digo: 00492
o

UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA
´
VICERCTOR´ ACADEMICA
IA
ESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
m270@uned.ac.cr
´
ASIGNATURA: MATEMATICA PARA ADMINISTRADORES II
´
CODIGO: 00492
SOLUCIONARIO TALLER VIRTUAL No. 2, II PAC 2013
II CUATRIMESTRE 2013
´
´
SELECCION UNICA (Valor 100 puntos, 10 puntos cada una)
Detalles de lasrespuestas:
5
1. Considere la funci´n g (x) = 100 + 26x + 31, 5x2 − x3 . De acuerdo con la misma, un punto cr´
o
ıtico
3
corresponde a
Soluci´n: Los puntos cr´
o
ıticos se determinan al resolver la ecuaci´n que se genera de igualar la
o
primera derivada de la funci´n a cero.
o
5
g (x) = 100 + 26x + 31, 5x2 − x3
3
g ′ (x) = 0 + 26 + 63x − 5x3
g ′ (x) = 0 ⇔ 26 + 63x − 5x2 = 0
(x −13) (5x + 2) = 0
x − 13 = 0 ⇒ x = 13
2
5x + 2 = 0 ⇒ 5x = −2 ⇒ x = −
5
Se evaluan los puntos o valores cr´
ıticos en la funci´n original y se obtiene cada respectiva imagen,
o
as´
ı:
(
)
5
12559
12559
2
3
g (13) = 100 + 26 (13) + 31, 5(13) − (13) =
→ 13,
3
6
6
(
( )
( )2
( )3
)
( )
2 7106
2
2
5
2
7106
2
→ − ,
= 100 + 26 −
+ 31, 5 −
−
−
=
g −
5
5
5
3
575
5 75
(
)
2 7106
Respuesta correcta propuesta taller virtual: − ,
5 75
1

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a

2. Dada la funci´n h (x) =
o

C´digo: 00492
o

25 3
x − 4x − 12. Un intervalo donde la misma es creciente, corresponde a
3

Soluci´n:
o
25 3
x − 4x − 12
3
h′ (x) = 25x2 − 4 = (5x − 2) (5x + 2)
h′ (x) > 0 ⇔ (5x − 2) (5x + 2) > 0
2
5x − 2 > 0 ⇒ 5x > 2 ⇒ x >5
2
5x + 2 > 0 ⇒ 5x > −2 ⇒ x > −
5
h (x) =

Se costruye la tabla de signos:

+¥

-

2
5

2
5

-¥

5x - 2
5x + 2
h¢ ( x )

h (x )
]
Respuesta correcta propuesta taller virtual:

[
2
, +∞
5

3. De acuerdo con la funci´n w (p) = 0, 05p5 − 13, 5p3 + 20p + 50, se tiene que un punto de inflexi´n
o
o
corresponde a
Soluci´n:
o
w (p) = 0, 05p5 − 13, 5p3 + 20p + 50
181
w′ (p) = p4 − p2 + 20
4
2
′′
w (p) = p3 − 81p
Los posibles puntos de inflexi´n se determinan al igualar la segunda derivada a cero, as´
o
ı:
w′′ (p) = 0 ⇔ p3 − 81p = 0
(
)
p p2 − 81 = 0
p (p − 9) (p + 9) = 0
p=0
p−9=0⇒p=9
p + 9 = 0 ⇒ p = −9

2

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o

Para determinar la imagen de cada punto de inflexi´n, se evalua cadauno de ellos en la funci´n
o
o
original, as´
ı:
w (0) = 0, 05(0)5 − 13, 5(0)3 + 20 (0) + 50 = 50 → (0, 50)
(
)
133181
5
3
w (9) = 0, 05(9) − 13, 5(9) + 20 (9) + 50 = 50 → 9, −
20
(
)
133181
5
3
w (−9) = 0, 05(−9) − 13, 5(−9) + 20 (−9) + 50 = 50 → −9,
20
Respuesta correcta propuesta taller virtual: (0, 50)
x3
4. Si p (x) =
+ 0, 1x2 + 5x − 1, entonces un intervalo donde p (x) esc´ncava hacia arriba
o
6
corresponde a
Soluci´n: Los intervalos donde la funci´n es c´ncava hacia arriba o c´ncava hacia abajo, se
o
o
o
o
consiguen con la segunda derivada. Se procede a determinarla, as´
ı:
x3
+ 0, 1x2 + 5x − 1
6
1
1
p′ (x) = x2 + x + 5
2
5
1
p′′ (x) = x +
5

p (x) =

Se construye una tabla de signos (en este caso no es necesaria, pero se construye paraseguir la
misma idea de trabajo) con el prop´sito de verificar los intervalos de c´ncavidad. Esta tabla de
o
o
signos se completa con la informaci´n que se desprende al tomar la segunda derivada y plantearla
o
mayor que cero o menor que cero y resolver la inecuaci´n. Escogemos hacerla mayor que cero, as´
o
ı:
1
>0
5
1
1
x+ >0⇒x>−
5
5

p′′ (x) > 0 ⇔ x +

Se construye la tabla designos, as´
ı:

]

[
1
Respuesta correcta propuesta taller virtual: − , +∞
5
3

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C´digo: 00492
o

5. Considere la siguiente representaci´n gr´fica de la funci´n de utilidad marginal U ′ (x) de la empresa
o
a
o
COOL. SA

De acuerdo con la misma, un intervalo donde la utilidad U (x) es creciente corresponde a
Soluci´n: Note que la...