mateatica

CAP´ITULO 2
´
NOCIONES BASICAS
DE TEOR´IA DE CONJUNTOS

2.1.

NOCIONES PRIMITIVAS

Consideraremos tres nociones primitivas: Conjunto, Elemento y Pertenencia.
Conjunto
Podemos entender al conjunto como, colecci´on, grupo de objetos o cosas. Por ejemplo,
el conjunto formado por los “objetos” 1, a, casa.
Denotaremos a los conjuntos con letras may´
usculas A, B, etc., as´ı, A es elconjunto
formado por los elementos: 1, a, casa.
Elemento
Un elemento es cualquier objeto o cosa en el conjunto. Los denotamos con letras
min´
usculas y al elemento gen´erico lo denotamos x.
Pertenencia
Denotado por el s´ımbolo ∈, relaciona las dos nociones primitivas anteriores. Si el elemento 1 est´a en el conjunto, anotamos: 1 ∈ A y se lee: “el elemento 1 pertenece al conjunto
A” osimplemente “1 est´a en A”.
Si el elemento x no pertenece al conjunto A, escribimos: x ∈
/ A.
Conjuntos por extensi´
on y por comprensi´
on
Un conjunto est´a descrito por extensi´
on cuando exhibimos a todos sus elementos encerrados en un par´entesis de llave, as´ı por ejemplo, A = {2, 3, 4}.
Un conjunto est´a descrito por comprensi´
on cuando declaramos una propiedad que la
cumplen s´olo y s´ololos elementos del conjunto, por ejemplo, el conjunto A = {2, 3, 4}
escrito por comprensi´on es: A = {x / x ∈ N/1 < x < 5}.
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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

Naturalmente que tambi´en podemos anotarlo: A = {x / x ∈ N / 2 ≤ x ≤ 4},
A = {x / x ∈ N / 1 < x ≤ 4}, ´o A = {x / x ∈ N / 2 ≤ x < 5}.

2.2.

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Definici´
on 2.2.1. Sean A y Bconjuntos, decimos que A es subconjunto de B, lo que
denotamos A ⊆ B si y s´olo si “todos los elementos de A son tambi´en elementos de B”, es
decir,
A ⊆ B ⇔ [∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B].

Ejemplo 2.2.1. Demuestre que A ⊆ A ∀ A (propiedad refleja).
Soluci´
on. Como ∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ A, concluimos que A ⊆ A.
Ejemplo 2.2.2. Demuestre que [A ⊆ B ∧ B ⊆ C] ⇒ A ⊆ C ∀ A, B, C (transitividad).
Soluci´on.
[A ⊆ B ∧ B ⊆ C] ⇒ [∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B] ∧ [∀ x : x ∈ B ⇒ x ∈ C]
⇒ ∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B ⇒ x ∈ C,
de donde A ⊆ C.
Observaci´
on 2.2.1. A no es subconjunto de B, lo que denotamos A ⊂ B si y s´olo si “existe
alg´
un elemento en A que no est´a en B” es decir
A ⊂ B ⇔ ∃x : x ∈ A ∧ x ∈
/ B.

Definici´
on 2.2.2. Decimos que los conjuntos A y B son iguales, lo que denotamos A = B
si y s´olo si“todos los elementos de A son elementos de B y todos los elementos de B son
elementos de A”, es decir
A = B ⇔ [∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B] ∧ [∀ x : x ∈ B ⇒ x ∈ A] ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.

2.3.

ALGUNOS CONJUNTOS IMPORTANTES

Conjunto Vac´ıo
Sea A un conjunto, entonces {x / x ∈ A∧x ∈
/ A} es un conjunto que no tiene elementos,
lo denotamos ∅A y es el conjunto “vac´ıo de A”.
Proposici´
on 2.3.1. ∅A⊆ A , ∀ A.

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CAP´ITULO 2 NOCIONES BASICAS
DE TEOR´IA DE CONJUNTOS

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Demostraci´
on. La realizaremos por reducci´on al absurdo. Supongamos que ∅A no es subconjunto de A, entonces ∃ x : x ∈ ∅A ∧ x ∈
/ A, esto constituye una contradicci´
on ya que el
conjunto ∅A no tiene elementos, entonces debe ocurrir que ∅A ⊆ A.
Observaci´
on 2.3.1. Note el uso de [p ⇒ (q ∧ (∼ q))] ⇒∼ p donde p :∅A ⊂ A.
Proposici´
on 2.3.2. ∅A = ∅B , ∀ A, B.
Demostraci´
on. Se debe demostrar que 1) ∅A ⊆ ∅B y 2) ∅B ⊆ ∅A .
1) As´ı es, ya que si no es cierto, es decir, si ∅A no es subconjunto de ∅B , debe existir al menos un elemento que pertenezca a ∅A y que no est´a en ∅B ; esto es una
contradicci´on, por lo que ∅A ⊆ ∅B .
2) De manera an´aloga, ∅B ⊆ ∅A .
Por 1) y 2) concluimos que ∅A = ∅B .Observaci´
on 2.3.2. Como todos los “vac´ıos” son iguales, denotamos simplemente ∅.
Conjunto Unitario
Es aquel conjunto que tiene un u
´nico elemento. Se lee como, el unitario del elemento.
Ejemplo 2.3.1. A = {x / x ∈ N , 3 < x < 5} = {4} se lee “el unitario del 4”.
Conjunto Universal U
Se puede demostrar que no existe un conjunto universo que contenga a todos los
conjuntos (Paradoja de...