MatematicaBasica 05

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Capitulo V: Relaciones
Relaciones Binarias:
Consideremos dos conjuntos A y B no vacíos, llamaremos relación binaria de A en B o relación entre
elementos de A y B a todo subconjunto R del producto cartesiano A x B, esto es:
Re es una relación de A en B ⇔ R < A x B
Ejemplo:
Sea A = { 1, 2, 3 } y B = { 2, 4, 5, 6 } dos conjuntos; entonces lassiguientes son relaciones entre A y
B por ser subconjuntos de A x B.
R1
R2
R3
R4
ƒ

=
=
=
=

{
{
{
{

(1,4), (2,5), (2,6) } ⊂ A x B
(2,2), (3,4) } ⊂ A x B
(x,y) ∈ A x B/ 2x + y < 6 } = { (1,2), (1,4), (2,2) } ⊂ A x B
(x,y) ∈ A x B/ x + y = 7 } = { (1,6), (2,5), (3,4) } ⊂ A x B

Dominio de una Relación: Se llama dominio de una relación R de A en B al conjunto de todas las
primeras componentes delos pares ordenados de la Relación. Se denota Dom(R) y se simboliza:
R: A → B, entonces: Dom(R) = { x ∈ A / ∃ y ∈ B, (x,y) ∈ R }
Es decir:
x ∈ Dom(R) ↔ ∃ y ∈ B / (x,y) ∈ R

ƒ

Rango de una Relación: Se denomina rango de una relación R de A en B al conjunto de todas las
segundas componentes de los pares ordenados de la Relación. Se denota Ran(a) y se simboliza:
R: A → B, entonces: Ran(R) = { y ∈ B /∃ x ∈ A, (x,y) ∈ R }
Es decir:
x ∈ Ran(R) ↔ ∃ x ∈ A / (x,y) ∈ R’

Ejemplo:
Hallar el Dominio y Rango de las Relaciones en A, siendo:
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
R1 = { (x,y) ∈ A x A / x + y = 7 }
R2 = { (x,y) ∈ A x A / x + y < 4 }
R3 = { (x,y) ∈ A x A / x < 2y } → ( x < 2y ↔ x > 2y )
Solución:
R1 = { (2,5), (3,4), (5,2), (4,3) } ⊂ A x A
R2 = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1) } ⊂ A x A
R3 = {(2,1), (3,1), (4,1), (4,2), (5,1), (5,2) } ⊂ A x A
Dom R1 = { 2, 3, 4, 5 }
Dom R2 = { 1, 2, 3 }
Dom R3 = { 2, 3, 4 }

Ran R1 = { 2, 3, 4, 5 }
Ran R2 = { 1, 2, 3 }
Ran R3 = { 1, 2 }

Ejemplo:
Determinar el Rango y Dominio de la siguiente relación:
R = { (x,y) ∈ R x R / x2 + y2 + 10y – 75 = 0 }

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Solución:
Hallando eldominio:
x2 + y2 + 10y – 75 = 0
y2 + 10y = 75 - x2
y2 + 10y + 25 = 75 – x2
( y + 5 )2 = 100 – x2
y+5=

(Metodo de Completar Cuadrados)

100 – x2

y= -5+

100 – x2

100 – x2 > 0
-x2 > -100
x2 > 100
x < + 10
-10 < x < 10
∴ Df = [ -10, 10 ]
Hallando el Rango:
x2 = 75 – 10y – y2
x=+

75 – 10y – y2

75 – 10y – y2 > 0
y2 + 10y > 75
( y2 + 10y + 25 ) – 25 > 75
( y + 5 ) 2 > 100
(Metodo de Completar Cuadrados)-10 < y + 5 < 10
-15 < y < 5
∴ Rf = [ -15, 5 ]

Propiedades de la Relación Binaria:
Las Relaciones Binarias gozan de las siguientes propiedades:
a)

Propiedad Reflexiva: Una relación R en A, diremos que es reflexiva si (a,a) ∈ R para todo a ∈ R
esto es:
R es reflexiva en A ↔ ∀a ∈ A, (a,a) ∈ R

b)

Propiedad Simétrica: Una relación R en A, diremos que es simétrica si (a,b) ∈ R implica que (b,a)
∈ R,esto es:
R es simétrica ↔ ∀(a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R

c)

Propiedad Transitiva: Una relación R en A, diremos que es transitiva si (a,b) ∈ R ∧ (b,c) ∈ R, esto
es:
R es transitiva ↔ ∀(a,b,c) ∈ A, [(a,b) ∈ R ∧ (b,c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R ]

d)

Propiedad Antisimétrica: Una relación R en A, diremos que es antisimétrica si:
∀ a,b ∈ A, (a,b) ∈ R y (b,a) ∈ R implica que a = b esto es:
R es antisimétrica ↔ ∀a,b ∈A [ (a,b) ∈ R ∧ (b,a) ∈ R ⇒ a = b ]

e)

Relación de Equivalencia: Una relación R en A, diremos que es de equivalencia si es: Reflexiva,
simétrica y transitiva.

Ejemplo:
Si A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } las relaciones en A:
a)

R1 = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) }
Es reflexiva en A

b)

R2 = { (1,1), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) }
No es reflexiva en A porque falta (2,2)

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Ejemplo:
Si A = { 2, 3, 5, 7 }, las relaciones en A:
a)

R1 = { (5,3), (2,7), (3,5), (7,2), (2,2) }
Es simétrica porque (x,y) ∈ R1 ⇒ (y,x) ∈ R1

b)

R2 = { (5,3), (2,7), (3,5), (2,2) }
No es simétrica porque falta (7,2)
Ejemplo:

Si A = { 1, 3 7, 9 } las relaciones en A:
a) R1 = { (7,1), (3,3), (1,3) }
No es transitiva porque (7,1) ∈ R ∧...