Matematicas Discretas

8-Mayo-2012

Discusi´n: Aplicaci´n
o
o

Objetivo: Homomorfismos
Si f es un homomorfismo de grupos, y se trata de una aplicaci´n inyectiva, f se denomina
o
monomorfismo, si f es epiyectiva, se denomina epimorfismo, si f es biyectiva, se denomina isomorfismo, mientras que los isomorfismos dentro de un mismo grupo se denominan
automorfismo.
Ejemplo 1: f (x) = ex es un monomorfismo de (R , +) en(R∗ , ·). De la gr´fica de f se
a
a+b = ea · eb = f (a)f (b). Esta misma
deduce que es inyectiva y adem´s f (a + b) = e
a
aplicaci´n es un isomorfismo de (R , +) en (R+ , ·).
o
Sea f un homomorfismo entre los grupos G, G; se define el
como el conjunto:

N (f ) = {x ∈ G : f (x) = eG } (eG

N´ cleo
u

el neutro de G)

(o ker(f ))

(1)

Ejemplo 2: La aplicaci´n F : (Z, +) → ({−1, 1},·) dada por f (n) = (−1)n es un epimoro
fismo. La epiyectividad es clara ya que f (2k) = 1, f (2k − 1) = −1, ∀k ∈ Z. Y adem´s
a
f (n + m) = (−1)n+m = (−1)n (−1)m = f (n)f (m)
Ejemplo 3: La aplicaci´n f : (GL2 (R ) , ·) → (R∗ , ·) dada por:
o
f

ab
cd

= ad − bc

es un homomorfismo de grupos. Recordar que el determinante de un producto de matrices
es un producto de determinantes de cadauna de ellas.
Ejemplo 4: Sea G un grupo y sea g ∈ G. Se define fg : G → G de modo que
fg (x) = gxg−1 , ∀ x ∈ G, es un homomorfismo de grupos, puesto que....
Ejemplo 5: Si V es el grupo de Klein, V y Z4 no son isomorfos. Se escribe v = {e, a, b, c}
de modo que a2 = b2 = c2 = e y ab = c. Si existiera un isomorfismo f de Z4 en V , cualquiera
que sea el valor de f (x) se ha de tener f (x + x) = f(x) f (x) = (f (x))2 = e, ∀x ∈ Z4 . En
particular:
f 0 =f 0+0 =e y f 2 =f 1+1 =e
puesto que f es un isomorfismo, f es inyectiva y de f (0) = f (2) se deduce que 0 = 2 →
←
Ejercicios:
1.- Sea f : (R , +) → (GL2 (R ) , ·) la aplicaci´n dada por:
o
f (x) =

cos x sen x
−sen x cos x

Demostrar que f es un homomorfismo y calcular su n´cleo.
u

W. Moscoso

1

ICUT01-2012 - Mat. Discreta8-Mayo-2012

Discusi´n: Aplicaci´n
o
o

√
2.- Demostrar que G = {m + 2n : m, n ∈ Z} es un grupo respecto de la suma.
Demostrar que H = {5k 3s : k, s ∈ Z} es un grupo respecto a la multiplicaci´n ¿Son
o
G y H isomorfos?
3.- ¿Es (R∗ , ·) isomorfo a (R+ , ·)?, ¿Es (R+ , ·) isomorfo a (Q+ , ·)?, ¿Es (Z, +) isomorfo a
(Q, +)?
4.- Si A es un grupo abeliano con n elementos y k es unentero primo con n, demostrar
que la aplicaci´n f : A → A definida por f (a) = ak es un isomorfismo.
o
5.- Sean G1 = R3 , + y G2 = R2 , + dos grupos. ¿Es f (a, b, c) = (a, b) un homomorfismo de G1 en G2 ?
6.- Si G = R2 , + y M es una matriz cuadrada con coeficientes reales, demostrar que
fM : G → G definida por fM ((x, y )) = (x, y )M es un homomorfismo de grupos
¿Cu´ndo es fM un isomorfismo?
a
7.-Si f es un isomorfismo entre los grupos G y G′ , demostrar que f −1 es un isomorfismo
entre los grupos G′ y G. Probar que en el conjunto C de todos los grupos la relaci´n
o
′ (es decir, G y G′ son isomorfos) es de equivalencia.
G =≈ G
8.- Demostrar que la aplicaci´n f : G → G definida por f (g) = g−1 es un autmorfismo
o
de G si y s´lo si G es abeliano.
o
9.- Sea F : G1 → G2 un monomorfismo degrupos; demostrar que x e y conmutan en G1 ,
si y s´lo si F (x), F (y ) conmutran en G2 ; utilizar este resultado para demostrar que si
o
G2 es abeliasno, G1 es tambi´n abeliano.
e
Proposici´n 1.- Clasificaci´n de los grupos c´
o
o
ıclicos
(i) Si G es un grupo c´clico con infinitos elementos, G es isomorfo a
ı
(Z, +).
(ii) Si G es un grupo c´clico con n elementos, G es isomorfo a (Zn ,+).
ı
(iii) Todo subgrupo de un grupo c´clico es c´clico.
ı
ı

Ejemplo 6: Todos los subgrupos de (Z12 , +) son c´
ıclicos. Para hallarlos todos basta
con mirar los subgrupos que generan cada uno de los elementos de este grupo. Dibuje
el ret´
ıculo de los subgrupos. De hecho < 1 >= Z12
Ejercicios:
1.- Encontrar el ret´
ıculo de los subgrupos de (Z50 , +) y de (Z13 , +)
2.- Dar un...