Matemàtiques aplicades a les ciències biomèdiques

1. La virulència del bacteri Mycobacterium tuberculosis mesura en una escala de 0 a 50 i ve expressada per la funció V(t)= 40+15t-9t2+t3, on t és el temps (en hores) transcorregut des del començament de l’estudi (t = 0). Aquest bacteri és el més virulent del món ja que mata més persones per si sol que cap altra infecció. Encara que la malaltia es tracta amb quimioteràpia i existeix una vacunapreventiva existeix un reservori de 1.800.000.000 persones infectades en el món en aquest moment (dades 2004); això representa gairebé un terç de la població mundial. Indiqueu els instants de màxima i mínima virulència en les primeres 6 hores i els intervals en què aquesta creix i decreix.

Perquè la funció tingui un màxim o un mínim la derivada ha de valdre zero.
V´(t)= 15-18t+3t2, igualant a 0,3t2-18t+15=0
Simplificant t2-6t+5=0, amb solucions t=5 i t=1.

Per saber què és un màxim i què un mínim busco la segona derivada.
V’’(t)= 6t-18, substituint les solucions de t= 5 i t= 1 a la segona derivada trobo que:
V’’(5)= 6·5-18= 12 > 0 ( és un mínim (5, V(5))
V’’(1)= 6·1-18= -12 < 0 ( és un màxim (1, V(1))
La màxima virulència és a les 5 hores, i la mínima a la primera hora.
Perveure els intervals de creixement i decreixement estudiem el signe de la derivada V’(t).
     0         1          3        5          6        
V’        +    0          -         0       +
     
V

La virulència augmenta en l’interval (0, 1) i (5, 6), i disminueix en (1, 5)

2. El nombre de bacteris d’uncultiu varia amb el temps, expressat en minuts, segons l’equació N = 500+50t-t2 per t( [0,35].
Quina és la velocitat de creixement de la població en l’instant t = 7 min? Determineu la raó de creixement mitjà en els intervals de temps t=0 a t=2.

La derivada de la funció N (t), és la velocitat de creixement de la població en qualsevol instant t.
Trobant N '(7) podrem respondre a la pregunta.N=500+50t-t2
N’=50-2t
N’(7)=50-2·7=50-14=36

La Velocitat de creixement en l’instant t=7 min = 36 bacteris per minut.
[pic]

La raó de creixement mitjà ve donada per la formula:
N(2)-N(0) = (500+50·2-22)-(500)= 96
2-0 2

3. El carboni 14 es desintegra seguint la llei exponencial següent: [pic], on t indica el temps transcorregut a partir d'un cert instantinicial (aquest origen és arbitrari i es pot prendre com a tal qualsevol constant de temps), Q(t) indica la quantitat d'àtoms que encara no s'han desintegrat a l'instant t, Q0 la quantitat d'àtoms que no s'havien desintegrat a l'instant que s'ha escollit com a instant inicial, i k és una certa constant. El carboni 14 té un període de semidesintegració de 5.770 anys. Això vol dir que cada 5.770 anys laquantitat d'àtoms que encara no s'han desintegrat es redueix a la meitat. A partir d'aquesta dada determineu el valor de la constant k. Digueu quin tant per cent d'àtoms encara no s'han desintegrat al cap de 30.000 anys.

Q(t)= àtoms no desintegrats a instant t
Q0= àtoms no desintegrats a t0 (inicials)
Cada 5770 anys la quantitat d’àtoms no desintegrats es redueix a la meitat de la quantitatinicial:
Q0= Q0·e-k0= Q0
Q0/2= Q0·e-k5770 ; k= 1.2·10-4

Al cap de 30000 anys:
Q(30000)= Q0·e-0.00012·30000= 0.027Q0

%= Q0-Q(30000) = (Q0-0.027Q0 )·100= 97.26% d’àtoms que encara no s’ha desintegrat.
Q0 Q0

4. És possible mesurar la concentració d'alcohol a la sang d'una persona. Investigacions mèdiques recents suggereixen que el risc R (donat com apercentatge) de tenir un accident automobilístic pot ser modelat mitjançant l'equació:
R(x)= 6ekx
on x: és la concentració d'alcohol a la sang i k una constant.
a)Al suposar una concentració de 0,04 d'alcohol a la sang produeix un risc del 10% (R = 10) de patir un accident, quin és el valor de la constant?
b)Amb el mateix valor de k indica la concentració d'alcohol corresponent un risc del...