Matrices Y Ecuaciones Lineales

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Cap´ıtulo II: Matrices y Ecuaciones
Lineales
Profesores:

Gladys Figueroa R.
Ra´
ul Fierro P.

En lo que sigue, para todo n ∈ N, anotaremos Jn = {1, . . . , n}.

1.

´
Algebra
de Matrices

Definici´
on y notaci´
on 1 Una matriz de orden m × n sobre IK es una funci´on
A : Jm × Jn → IK. Si A(i, j) = aij , anotaremos esta matriz como A = (aij ; 1 ≤
i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n), o bien, mediante el siguientearreglo rectangular de m filas
(horizontales) y n columnas (verticales):

a11 · · · a1n
 .
..
...
.
A=
.
 .
am1 · · · amn

Ejemplo 2 Sea A =

1

i

0

3 1−i i



.


. ¿Sobre qu´e campo puede ser considerada esta

matriz A?
Respuesta. Sobre el campo de lo n´
umeros complejos, es decir, sobre C.
Notaci´
on 3 Denotaremos por Mm×n (IK) el conjunto de todas las matrices de orden
m × n sobreIK . Ahora bien, si el n´
umero de filas es igual al n´
umero de columnas y
es igual a n (matriz cuadrada), anotaremos Mn (IK) = Mn×n (IK).
Definiciones 4 Sean A, B ∈ Mm×n (IK) tales que A = (aij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) y
B = (bij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n). Definimos la suma y multiplicaci´on por escalar en
Mm×n (IK) como sigue:
(4.1)

A + B = (aij + bij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n).

(4.2)

Si α ∈ IK,entonces αA = (αaij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n).

2

Figueroa y Fierro

Ejemplo 5 Sean A =

Entonces, A + B =

1

2 −1

yB=

−3 0 −2
2

7

−9

−7 −2 −1

1

5

−4 −2

y 3A =

3

−8
1

.

6 −3

−9 0 −6

.

Observaci´
on 6 No es dif´ıcil verificar que con las operaciones de suma y multiplicaci´on por escalar definidas en 4, Mm×n (IK) es un espacio vectorial sobre IK, sin
embargo, este hecho no tiene mayorimportancia en este cap´ıtulo.
Definici´
on 7 Sean A ∈ Mm×n (IK) y B ∈ Mn×l (IK). La multiplicaci´on de A por B
es la matriz C = (cij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ l) en Mm×l (IK), que anotaremos C = AB
y, que se define como
(7.1)

cij =

n
k=1

aik bkj ,

donde A = (aij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) y B = (bij ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ l).


1 2


1 1 1 0

Ejemplo 8 Sean A =  −1 3 
 y B = 4 2 1 −1 .
1 0

9 5 3 −2


.
Luego AB ∈ M3×4 (R) y AB = 
11
5
2
−3


1 1 1 0
Proposici´
on 9 Sean A ∈ Mm×n (IK), B ∈ Mn×l (IK) y C ∈ Ml×r (IK). Entonces,
(9.1)

(AB)C = A(BC).

Demostraci´on. Notemos en primer lugar que las matrices (AB)C y A(BC) son ambas
de orden m × r. Sea (i, j) ∈ Jm × Jr . La componente (i, j) de la matriz (AB)C esta
dada por
[(AB)C](i, j) =
=
=
=
=

l
k=1 (AB)(i, k)C(k, j)
l
n
k=1
s=1A(i, s)B(s, k)C(k, j)
n
l
s=1
k=1 A(i, s)B(s, k)C(k, j)
n
l
s=1 A(i, s)
k=1 B(s, k)C(k, j)
n
s=1 A(i, s)(BC)(s, j)

= [A(BC)](i, j).

3
Por lo tanto, (9.1) se satisface.
Proposici´
on 10 Sean A ∈ Mm×n (IK) y B, C ∈ Mn×l (IK). Entonces,
(10.1)

A(B + C) = AB + AC.

Demostraci´on. Sea (i, j) ∈ Jm × Jl . Luego,
n
k=1 A(i, k)(B + C)(k, j)
n
k=1 A(i, k)(B(k, j) + C(k, j))
n
k=1 (A(i, k)B(k, j) + A(i,k)C(k, j))
n
n
k=1 A(i, k)B(k, j) +
k=1 A(i, k)C(k, j)

[A(B + C)](i, j) =
=
=
=

= (AB)(i, j) + (AC)(i, j)
= (AB + AC)(i, j),
lo cual demuestra (10.1).
Proposici´
on 11 Sean A, B ∈ Mm×n (IK) y C ∈ Mn×l (IK). Entonces,
(11.1)

(A + B)C = AC + BC.

Demostraci´on. Ejercicio.
Observaciones 12 La Proposici´on 9 nos dice que la multiplicaci´on de matrices es
asociativa, en tanto que las Proposiciones10 y 11 expresan que la multiplicaci´on de
matrices es distributiva respecto de la suma de ellas. Sin embargo, es f´acil encontrar
contraejemplos que muestran que esta operaci´on no es conmutativa. Por ejemplo,
1 1
1 2
y B =
, se tiene que
definiendo matrices A y B como A =
1 0
−1 3
AB =

3

1

2 −1

0 5

y BA =

1 2

. En consecuencia, AB = BA.

Definici´
on 13 La matriz identidad en Mn (IK) es lamatriz In definida por
(13.1)

In (i, j) =

1

si

i=j

0

si

i = j.

Es decir, In es la matriz (cuadrada) de orden n × n con “unos” en la diagonal y
“ceros” en las otras ubicaciones del arreglo.
Proposici´
on 14 Sea A ∈ Mm×n (IK). Entonces,

4

Figueroa y Fierro
(14.1)

Im A = A.

(14.2)

AIn = A.

Demostraci´on. Demostraremos s´olo (14.1), dejando (14.2) como ejercicio para el estudiante....