Matrices,determinantes y ecuaciones lineales

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UNIVERSIDAD CATOLICA ANDRES BELLO
FACULTAD DE INGENIER´
IA
ESCUELA DE INGENIER´ EN TELECOMUNICACIONES
IA
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
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CATEDRA: ALGEBRA LINEAL

MATRICES, DETERMINANTES Y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MATRICES
Definici´n:
o
Una matriz A de orden m × n es un arreglo rectangular de m · n
filas y n columnas como sigue:
 

a11 a12 · · ·
a11 a12 · · ·a1n
 a21 a22 · · · a2n   a21 a22 · · ·

 
A= .
.
.
. = .
..
..
.
.
.
.   .
 .
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · ·
am1 am2 · · · amn

n´meros dispuestos en m
u
a1n
a2n
.
.
.







amn

Nota: Se pueden usar par´ntesis o corchetes indistintamente.
e
A menos que se indique otra cosa, supondremos que todas las matrices est´n compuestas
a
totalmente porn´meros reales.
u
La i-´sima fila de A es
e
Fi (A) = [ai1 ai2 · · · ain ]

(1 ≤ i ≤ m)

mientras que la j-´sima columna de A es
e



Cj (A) = 


a1j
a2j
.
.
.







amj
Si m = n se dice que A es una matriz cuadrada de orden n y que los elementos a11 , a22 , . . . , ann
forman la diagonal principal de A. Nos referiremos a aij como la componente (i, j)(componente
de la fila i columna j) o elemento i, j-´simo de la matriz A, y a menudo escribiremos
e
A = [aij ].
Tambi´n escribiremos Am×n o que A ∈ Rm×n para indicar que A tiene m filas y n columnas
e
y que sus componentes con n´meros reales. Si A es de orden n × n, escribiremos simplemente
u
An .
Traspuesta de una Matriz:
Si A = [aij ] es una matriz m × n, entonces la traspuesta de A, At = [ˆij], es una matriz
a
n × m definida por aij = aji . As´ la traspuesta de A se obtiene a partir de A intercambiando
ˆ
ı,
las filas y las columnas de A.
Propiedad: (At )t = A.

1

Matrices Especiales:
Matriz Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero. A esta matriz
suele denotarse por O = Om×n . Tambi´n suele recibir el nombre de matriz cero.
e
Matriz Diagonal: Estoda matriz cuadrada A = [aij ] de orden n tal que aij = 0 para
i = j.
Matriz Escalar: Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son todos iguales.
Matriz Identidad: Es la matriz escalar In = [aij ], donde
1
0

aij =

si i = j
si i = j

Matriz Triangular Superior: Es toda matriz cuadrada A = [aij ] de orden n tal que
aij = 0 para i > j.
Matriz Triangular Inferior: Es todamatriz cuadrada A = [aij ] de orden n tal que
aij = 0 para i < j.
Matriz Sim´trica: Es toda matriz A tal que At = A.
e
Matriz Antisim´trica: Es toda matriz A tal que At = −A.
e
Igualdad de Matrices:
Dos matrices A = [aij ] y B = [bij ] son iguales si son del mismo orden y si las componentes
correspondientes son iguales, es decir, si aij = bij para i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n.´
Algebra de Matrices (Operaciones):
Adici´n de Matrices: Sean A = [aij ] y B = [bij ] dos matrices m × n. Entonces, la
o
suma de A y B es la matriz m × n dada por A + B = [cij ], donde cij = aij + bij para
i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . n.
Multiplicaci´n de una Matriz por un Escalar: Sean A = [aij ] una matriz m × n y
o
α un escalar real. Entonces, el m´ltiplo escalar de A por αes la matriz m × n dada por
u
αA = [cij ], donde cij = αaij , para i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n.
Sustracci´n de Matrices: Sean A = [aij ] y B = [bij ] dos matrices m × n. Entonces, la
o
diferencia de A y B es la matriz m × n dada por A − B = A + (−1)B.
Multiplicaci´n de Matrices: Sean A = [aij ] una matriz m × n y B = [bij ] una matriz
o
n × p. Entonces, el producto de A y B esla matriz m × p dada por AB = [cij ], donde
n

cij =

aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj para i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , p.
k=1

Propiedades de las Operaciones con Matrices:
Mientras no se indique otra cosa, A, B, C ∈ Rm×n y α, β ∈ R.
(a) A + B = B + A
2

(b) (A + B) + C = A + (B + C)
(c) A + Om×n = Om×n + A = A
(d) A + (−A) = (−A) + A = Om×n
(e) 0A =...