Sistemas de ecuaciones lineales con matrices

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON
MATRICES
SISTEMA DE ECUACIONES
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:

a11 x1  a12 x2  a13 x3  L  a1n xn  b1


a21 x1  a22 x2  a23 x3  L  a2 n xn  b2




m
ecuaciones



 L L L L L L L L L L L L L L L
 am1 x1  am 2 x2  am3 x3  L  amn xn  bm

términos
independientes

n incógnitasincógnitas
Coeficientes del sistema

Expresión Matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales

El sistema

 a11

 a21
a
 31
 ..

 a m1

puede ser escrito de la siguiente manera:

a12

a13

a22

a23

a32

a33

..

..

am 2

am 3

a1n  x1   b1 
   
...... a2 n  x2   b2 
 
...... a3 n  x3   b3 
..
..    =   
   
...... amn  xn   bm 
......

A: matriz de loscoeficientes
X: matriz de las
incognitas
B: matriz de los términos
independientes

Expresión
matricial del
sistema

 a11 a12 a13

 a21 a22 a23
a
a32 a33
31

A* =  ..
..
..

 am1 am2 am3

A∙X=B

...... a1n
...... a2n
...... a3n
..

..

...... amn

Matriz ampliada

b1 

b2 
b3 
.. 

bm 

Expresión Matricial: ejemplo

El sistema





2x + 5y – 3z = 1
x – 4y + z = –2

Tiene lasiguiente matriz de los coeficientes: A



=


2 5 –3 
1 –4 1 


2
5
–3
1

Tiene la siguiente matriz ampliada: A* =

1 –4 1 –2 





 x  
2 5 –3 
  1
y
Tiene la siguiente expresión matricial:
 =  – 2
1 –4 1 
 z 















Solución de un sistema de ecuaciones
Una solución del sistema:

a11 x1  a12 x2  a13 x3  L  a1n xn  b1


a21 x1  a22 x2  a23 x3 L  a2 n xn  b2






 L L L L L L L L L L L L L L L
 am1 x1  am 2 x2  am3 x3  L  amn xn  bm
es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales
que se verifican todas las ecuaciones:

 a11 s1  a12 s2  a13 s3    a1n sn b1
 a s  a s  a s    a s b
 21 1 22 2
23 3
2n n
2

 
 am1s1  am 2 s2  am 3 s3    amn sn bm

Solución de unsistema de ecuaciones: ejemplo

 x  y  z 1

Consideramos el sistema:  x  2 y  z 2
 2x  3y
3

 x 3
• Los valores  y  1 son una solución del sistema por que:
 z 1



3  ( 1)  1 1

 3  2 ( 1)  ( 1) 2
 2 3  3 ( 1) 3


 x  3

• Los valores  y 3 son una solución del sistema por que:
 z  1


 3  3  ( 1) 1


  3  2 3  ( 1) 2
 2 ( 3)  3(3) 3


Clasificación de un sistema según el número de soluciones

Incompatible
Sin solución

Sistemas de
ecuaciones lineales
Determinado
Compatible
Con solución

Solución
única

Indeterminado
Infinitas
soluciones

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las
mismas soluciones.

Transformaciones que convierten un sistema en otroequivalente:
I. Multiplicar o dividir ambos miembros de una
ecuación por un número distinto de cero.
II. Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del
mismo.
III. Eliminar una ecuación que es combinación lineal de
otras dos.

Sistemas Equivalentes: ejemplo

 2 x  y  2 z 3

 3 x  y  z 1
 2 x  2 y  4 z 4


E3 

1
E
2 3

E 2  E 2  3E1

E 3  E 3  2E1

 2 x  y  2 z 3

 3 x  y  z1
 x  y  2 z 2

 x  y  2 z 2

  2 y  5 z  5
  y  2 z  1


E 3  E1

E 3  2E 3  E 2

Sistemas equivalentes

 x  y  2 z 2

 3x  y  z 1
 2 x  y  2 z 3

 x  y  2 z 2

  2 y  5 z  5
  z 3


Sistemas de Ecuaciones Escalonados
Un sistema de ecuaciones es escalonado cuando verifica que, reordenadas sus
ecuaciones de forma conveniente, la matriz de loscoeficientes es escalonada.

Ejemplos:

 2 x  3 y 4

  3 y 5

 4 x  2 y  3z 5

4 y  2 z 3


3z  2


 2 x  3 y  5 z 4

3 y  2 z 2


 2 x  3 z 4

z 4

 x  y  z 1


Solución de Sistemas de Ecuaciones con Matrices

Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene
ninguna.

Métodos de resolución:

1. Método de Gauss.
2. Método de...