Matrices y Sistema de ecuaciones

ALGEBRA DE MATRICES

EXPLICACIONES GENERALES
matriz 3 x 4


El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz.
El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.
Ejemplo:



Si la matriz es A las posiciones de cada número son ai j
i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz A.


Ejemplos:En la siguiente matriz indica la posición del número circulado.




OPERACIONES

Suma de matrices

Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben tener el mismo número de filas y columnas.

Definición de suma:
Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) mxn.

Ejemplo:
Suma las matrices A + BPropiedades:

Ley asociativa
Ley conmutativa

Elemento neutro



Producto de un escalar

Definición:
Si kA = k(ai j) mxn
Debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar.

Ejemplo:

Opera 2A




Inverso aditivo (resta)



Opera A – B

El orden es igual que en la suma pero debes
fijarte muy bien en los signos.



EJERCICIOS

Encada ejercicio realiza: a) A + B b) B – A c) 2 A + 3 B d) 5 A - 4 B

1) 2)

3) 4)



Multiplicación de matrices:

Para poder multiplicar debemos revisar primero el numero de filas x columnas

Si tenemos que una matriz es 3 x 5 y la otra 5 x 2 se puede multiplicar si

Matriz A Matriz B




3 x 5 5 x 2Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cual es el tamaño de la matriz de la respuesta.


Matriz A


Matriz B

¿se puede multiplicar?

Tamaño de respuesta
3 x 4
4 x 5


5 x 6
6 x 2


5 x 3
4 x 6


7 x 8
8 x 2


4 x 2
3 x 4


5 x 7
7 x 2



Ejemplo:

Se opera asi:Respuesta:


EJERCICIOS

Encuentra AB y BA, si es posible.

1) 2)


3) 4)


5)

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A.
Determinante de A se puede escribir de dos formas:

determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de unnúmero)
Det A Esta se utiliza a veces en lugar de para evitar la confusión.


1) Matriz es de primer orden cuando únicamente tiene un solo elemento y y definimos la determinante de A como .

2) Matriz cuadrada de segundo orden o de 2 x 2 de modo

Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:


( a11 ) ( a22 ) - ( a21 ) ( a12 )Ejemplo:
Encuentre si



3) Matriz cuadrada de orden 3 o de 3x3

a11
a12
a13

1
5
3
M
=
a21
a22
a23
=
2
4
7


a31
a32
a33

4
6
2

Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:

a)Toma una fila o columna de referencia. Tomar una fila o columna de referencia en este problema es un paso crucial así que debes elegirlosabiamente, entonces puedes facilitar el problema en gran medida y resolverlo en poco tiempo.

Generalmente se toma la primera fila como referencia. Si la matriz dada tiene un cero es sus elementos, entonces elige la fila o columna que tenga más cantidad de ceros.
Hay una regla de signos de referencia en la fila o columna de acuerdo a la que tengas que hacerle cálculos. Nota que estos signos dereferencia son sólo para la fila o columna de referencia. Los signos de referencia son los siguientes.


(+) a11
(-) a12
(+) a13
M
=
(-) a21
(+) a22
(-) a23


(+) a31
(-) a32
(+) a33
b)Elige el primer elemento de referencia de la fila o columna y cruza los otros elementos de la fila y columna del primer elemento de referencia.
Calcula el determinante de una matriz 2x2 que es lo que...