Matrices y sistemas de ecuaciones

|Temas de Geometría Vectorial y Álgebra Lineal |
|Profesor: Grimaldo Oleas L. |
|SOLUCIÓN DE EJERCICIOS SOBRE MATRICES, SISTEMAS DE ECUACIONES Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN |
|Marzo de 2011|

I. EJERCICIOS RESUELTOS

PRIMERO
Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las variables x, y, z:

x + y + z = 2
x + 2 y + 2 z = 5
2 x + 3 y + ([pic]2 – 6) z = [pic] + 10.

Exprese el sistema en la forma matricial A X = b y encuentre, y justifique, todos los valoresde [pic] para los cuales el sistema A X = b:
1. No tenga solución.
2. Tenga solución única.
3. Tenga infinitas soluciones.

SOLUCIÓN:
La matriz de coeficientes del sistema es:
A = [pic].

El vector de términos independientes es:
b = [pic].

La matriz ampliada del sistema A X = b es:
[pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]

La matriz ampliada está semiescalonada:

[pic]U[pic]c [pic]= [pic]1. Para que el sistema no tenga solución, se requiere que [pic]= 0 y, a la vez, [pic]≠ 0. Esto sólo sucede cuando [pic]= 3.
2. Para que el sistema tenga solución única, debe ser [pic]≠ 0. Esta situación se presenta cuando a la vez [pic]≠ 3 y [pic]≠ - 3. Significa que siempre que [pic] tome cualquier valor real diferente de 3 y de – 3, el sistema tendrá solución única.
3. Para que el sistematenga infinitas soluciones es preciso que [pic]= 0 y, a la vez, [pic]= 0. Esto se presenta sólo cuando [pic]= - 3.

SEGUNDO
Sean A y B matrices cuadradas de orden n y simétricas. Averigüe (con justificación de cada paso) si la matriz (A B – BA) es SIMÉTRICA, ANTISIMÉTRICA o no corresponde a ninguno de los dos tipos.

SOLUCIÓN:
Por hipótesis: AT = A y BT = A.

Sea S = AB – BA.Hallemos una expresión sencilla para la transpuesta de S: ST.

ST = (AB – BA)T (definición de S)
= (AB)T – (BA)T (transpuesta de la suma)
= BTAT – ATBT (transpuesta del producto)
= BA – AB (por hipótesis)
= – (AB – BA) (factor común – 1)

Por tanto, ST = – S (definición de S)

En consecuencia, por definición la matriz S es ANTISIMÉTRICA.TERCERO
En cierta fábrica se usan tres tipos de máquinas (M1, M2, M3) para elaborar muebles de tres estilos: E1, E2, E3). La capacidad de producción semanal de una unidad de cada tipo de máquina se exhibe en la tabla siguiente:

| Estilo |E1 |E2 |E3 |
| | | | |
|Máquina | | ||
|M1 |50 |50 |300 |
|M2 |100 |160 |100 |
|M3 |90 |150 |40 |

La fábrica ha recibido un pedido 1950 unidades de muebles del estilo E1, 3030 del estilo E2 y 2700 del estilo E3. Para cubrir totalmente el pedido, la fábrica debe poner en funcionamiento el número demáquinas requerido por cada tipo de ellas.

1. Defina un conjunto adecuado de variables y escriba un sistema de ecuaciones que se ajuste a las condiciones del problema.
2. Escriba el sistema de ecuaciones en la forma A X = B. Defina claramente la matriz A y los vectores X y B.
3. Use eliminación de Gauss para resolver el sistema. Indique claramente cuáles son variables libres y cuáles son básicas.4. ¿Cuántas soluciones tiene el problema? ¿Cuáles son? Justifique.
5. Si un criterio de gerencia establece que se debe escoger la opción que demande el menor número total de máquinas, pero utilizando los tres tipos de ellas, ¿cuál es la mejor solución? Justifique.

SOLUCIÓN:

1. Definición de variables:
x: No. de máquinas tipo M1 que se deben poner en funcionamiento
y: No. de...