Matrices Determinantes Y Sistemas De Ecuaciones Lineales

Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica.
Matem´
aticas I. 2010-2011.
Departamento de Matem´
atica Aplicada II.
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 3. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
3.1.- Matrices. Operaciones y propiedades.
3.2.- Determinantes. Definici´
on y propiedades.
3.3.- Sistemas de ecuaciones lineales.
Definiciones y notaci´onmatricial.
Reducci´on por filas y formas escalonadas.
Teorema de Rouch´e-Frobenius.
Regla de Cramer.
3.4.- Resoluci´
on de sistemas de ecuaciones lineales.
M´etodo de Gauss-Jordan.
C´alculo de la inversa de una matriz cuadrada.
3.5.- El conjunto soluci´
on de un sistema de ecuaciones lineales.
Combinaciones lineales.
Sistemas homog´eneos.
Sistemas completos.
3.6.- Transformaciones matriciales.Transformaci´on asociada a una matriz.
Ejemplos geom´etricos.
3.7.- Ejercicios.
3.8.- Ap´
endice: MATLAB.
En este tema vamos a considerar las operaciones con matrices y sus propiedades, los
determinantes y sus propiedades y los sistemas de ecuaciones lineales. Aunque casi siempre
hagamos referencia a matrices y coeficientes reales, todo es trasladable al caso de matrices y
coeficientes complejos. Dehecho, tambi´en consideraremos algunos detalles referidos a matrices complejas no reales. Cuando consideremos enunciados en los que de forma indistinta se
pueden tomar coefiecientes reales o complejos, usaremos K para denotar al conjunto num´erico (K = R ´o C). Llamaremos escalares a los n´
umeros reales o complejos, sin especificar
ninguno en concreto.
En los temas anteriores ya hemos hechos uso dela terminolog´ıa y operaciones matriciales,
as´ı como de algunos resultados b´asicos asociados al ´algebra matricial, puesto que ya eran
conocidos en los casos de dimensi´on baja. Aunque en este tema tambi´en citemos propiedades
ya conocidas, y utilizadas, incidiremos en los aspectos que sean m´as relevantes.
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Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.

Dado un n´umero natural n denotaremos por Rn al conjunto de los vectores de n coordenadas reales, por Cn al de los vectores de n coordenadas complejas y por Kn al de los vectores
de n coordenadas sin especificar si K es R ´o C. Salvo que se indique lo contrario, consideraremos y manipularemos los vectores de coordenadas como vectores-columna, indicando
un vector-fila como el transpuesto de unvector-columna. Sobre los vectores con un n´
umero
finito de coordenadas consideraremos las operaciones, usuales con dos y tres coordenadas,
de suma de vectores (suma coordenada a coordenada) y multiplicaci´on de un escalar por un
vector, adem´as de la multiplicaci´on matriz-vector.
Salvo en la u
´ ltima secci´on, en la que consideraremos algunos ejemplos geom´etricos en el
plano y el espacio (reales), noconsideraremos en este tema el producto escalar de vectores
reales ni los conceptos asociados (norma, ortogonalidad,...).
La definici´on que consideraremos de determinante, de un orden gen´erico, ser´a una definici´on recursiva. Es decir, teniendo en cuenta la definici´on de determinante de orden 2 (y orden
3) definiremos un determinante de orden n en funci´on de determinantes de orden n − 1.Consideraremos las propiedades teniendo en cuenta que para determinantes de orden 2 y 3 son
conocidas.
Aunque nuestro punto de partida sea la manipulaci´on elemental de sistemas de ecuaciones lineales, con un n´
umero arbitrario de ecuaciones y de inc´ognitas, es prerrequisito
el conocimiento b´asico de sistemas de ecuaciones lineales en dimensi´on peque˜
na (sistemas
con pocas ecuaciones y pocas inc´ognitas):
qu´e es y qu´e no es un sistema de ecuaciones lineales,
qu´e es y qu´e no es una soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales,
la resoluci´on y discusi´on de un sistema de ecuaciones lineales con pocas inc´ognitas,
los conceptos asociados a dicha resoluci´on y discusi´on (compatibilidad e incompatibilidad, n´
umero de soluciones, rango de una matriz, ...),
la expresi´on de las soluciones...