Matrices Y Sistemas

TEMA 0. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Matriz es el nombre genérico que en matemáticas se aplica a listas y tablas numéricas. Las
matrices se emplean, entre otras muchas cosas, para almacenar información, para describir
relaciones, para el estudio de sistemas de ecuaciones,…, y aparecen de modo natural en
Economía, Sociología, Psicología, Estadística, Geometría,...

DEFINICIONES BÁSICAS
•Matriz de orden n x m

Todo conjunto de elementos dispuestos de modo ordenado en forma de una tabla de n filas y
m columnas. Se simboliza en las formas:

 a11
a
A =  21
 M

an1

a12 L a1m 
a22 L a2 m 
,ó
M
M
M 

an 2 L anm 

A = (c1 , c2 ,..., cm ),

ó

 f1 
A =  M 
 f n 

siendo:
a ij : el término situado en la fila i y columna j,
cj : vector-columna formado por los elementosde la columna j
(j = 1, 2, ..., m)
fi : vector-fila formado por los elementos de la fila i (i = 1, 2, ..., n)
Si n = 1 , la matriz se denomina matriz fila.
Si m = 1 , la matriz se denomina matriz columna.

1

Una matriz puede contener informaciones muy variadas:
Resultado de una encuesta realizada a n individuos sobre m preguntas. Cada fila es la
respuesta de un individuo.
Una tecnología linealque emplea n factores en m procesos productivos. Cada columna
es un proceso productivo.
-

Una aplicación lineal de Rn en Rm.

Los coeficientes de las incógnitas de un modelo lineal de n ecuaciones y m incógnitas.
Cada columna son los coeficientes de una incógnita.
•

Matrices cuadradas

Son aquéllas en las que el número de filas coincide con el número de columnas n = m.
En las matrices cuadradasllamamos diagonal principal a los elementos en los que los
subíndices i y j coinciden:
a11 , a22 , K, ann forman la diagonal principal.
La suma de los elementos de la diagonal principal se denomina TRAZA de la matriz.
Traz ( A) = a11 + a22 + .... + ann
Las matrices cuadradas que tengan nulos los elementos que quedan a uno de los lados de la
diagonal principal se denominan matrices triangulares.Siendo: subtriangular si son nulos
los que quedan a la izquierda y súper triangular sin son los de la derecha.
Matriz diagonal es la que tenga nulos todos los elementos que no estén en la diagonal
principal.

 a11
a
A =  21
 M

an1

a11
0
A=
M

0


0 L 0 
a22 L 0 
M
M
M 

an 2 L ann 

Triangular superior

a11
0
A=
M

 0

0
a22
M
0

a12 L a1n 
a22 L a2 n 
M
M
M 

0 L ann


Triangular inferior

0
L 0 
M
M 

L ann 
L

Diagonal

2

OPERACIONES ELEMENTALES CON MATRICES
Cuando los elementos de la matriz son números reales, o de cualquier cuerpo conmutativo,
surge una capacidad operatoria con las matrices, o lo que es igual, surge una estructura
algebraica en los conjuntos de matrices.

SUMA DE MATRICES

•
Suma de dos matrices del mismo orden es la matriz queresulta al sumar los elementos
que ocupan el mismo lugar en ambas.
Cn∗m = An∗m + Bn∗m
Sumándose elemento a elemento:
cij = aij + bij

El elemento neutro de la suma matricial es la matriz nula, que tiene todos sus elementos
iguales a cero.
Propiedades
Sean A, B, y C matrices del mismo orden y 0 la matriz nula, entonces
1.

Asociativa:

A + (B + C) = ( A + B ) + C

2.

Conmutativa:

A+B=B+C

3.Elemento neutro:

A+0=A

4.

Elemento opuesto:

A + (-A) = 0

PRODUCTO DE NÚMERO REAL POR MATRIZ
El producto de un número real (k) por una matriz A = (aij) es la matriz que resulta al
multiplicar el escalar por cada uno de los elementos de la matriz A = (aij).

k⋅A= B

siendo:

/ A, B ∈ M n∗m y

k∈R

bij = k ⋅ aij

3

PRODUCTO DE MATRICES
El producto de una matriz A de orden n x m, por otra matriz Bde orden m x p, es la matriz C,
de orden n x p, cuyo elemento genérico cij es el resultado de sumar los productos de los
elementos de la fila i de A por los de la columna j de B.

An∗m ⋅ Bm∗ p = Cn∗ p / cij = ai1 ⋅ b1 j + ai 2 ⋅ b2 j + ... + aim ⋅ bmj
Propiedades
Suponiendo conformidad de órdenes entre las matrices A, B y C:
A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B) ⋅ C

1.

Asociativa:

2.

Distributiva: A ⋅...