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Ondas estacionarias en una cuerda
1. La ecuación diferencial del movimiento ondulatorio es

siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda y ψ el desplazamiento trasversal de un punto x de la cuerda en el instante t.
2. Estudiamos una solución de la forma
ψ(x,t)=y(x)·sen(ωt)
Cada punto de la cuerda vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angularω.
La ecuación diferencial se convierte en

La solución de esta ecuación diferencial, similar a la de un M.A.S., es
y=Asen (kx)+Bcos(kx)  con k=ω/v  que es el número de onda
3. Las condiciones de contorno son:
La cuerda está fija por sus extremos x=0 y x=L
De la primera condición, tenemos que B=0.
y de la segunda,
sen(kL)=0  o bien, kL=nπ, con n=1, 2, 3,…
que nos da los distintasfrecuencias de vibración de la cuerda

La amplitud de las oscilaciones de los puntos x de la cuerda en el modo normal n es


Estas funciones cumplen que

La integral es el área bajo la curva de la figura inferior.

 
Modos normales de vibración de una barra elástica con extremos fijos
Para encontrar los modos normales de vibración de una barra elástica con ambos extremos fijos seguimos unprocedimiento similar

1. La ecuación diferencial del movimiento de un elemento de la barra es

Siendo ψ el desplazamiento trasversal de un punto x de la barra en el instante t.
ρ es la densidad de la barra
Y es el módulo de Young del material de la barra.
I=ab3/12 es el momento de inercia de la sección trasversal rectangular de la barra de anchura a y espesor b.
2. Estudiamos una solución dela forma
ψ(x,t)=y(x)·sen(ωt)
Cada punto x de la barra vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω.
La ecuación diferencial se convierte en

Las raíces de la ecuación característica son

son dos raíces reales y dos imaginarias
r=q, r=-q, r=iq, r=-iq
La solución general es

o de forma equivalente
y=A1senh(qx)+A2·cosh(qx)+A3·sen(qx)+A4·cos(qx)
La pendiente o derivada de y es,3.  Condiciones de contorno.
La barra está firmemente sujeta por sus extremo x=0, y la pendiente en este punto es dy/dx=0.
0=A2+A4
0=A1+A3
La barra está firmemente sujeta por sus extremo x=L, y la pendiente en este punto es dy/dx=0.
0=A1(senh(qL)-sen(qL))+A2(cosh(qL)-cos(qL))
0=A1(cosh(qL)-cos (qL))+A2(senh(qL)+sen(qL))
Eliminado A1 y A2 obtenemos una ecuación trascendente en qL(senh(qL)-sen(qL))·(senh(qL)+sen(qL))-(cosh(qL)-cos (qL))2=0
Las raíces rn=qn·L de esta ecuación se calculan por el procedimiento numérico del punto medio, sus primeros cinco valores son:
rn=4.73, 7.85, 11.00, 14.14, 17.27
Conocido los valores posibles de qn se calculan las frecuencias de vibración ωn=2πfn

Donde fn es la frecuencia del modo normal n de vibración y Cn es un número que correspondea este modo. Sus primeros valores son:
C1=3.56, C2=9.82, C3=19.2, C4=31.8, C5=47.5, etc.
El coeficiente Cn es independiente de las características de la barra y el segundo término, bajo la raíz, depende del material y de las dimensiones de la barra.
La amplitud de la vibración y(x) de los distintos puntos x de la barra en el modo normal de vibración n es:

El valor de la constante deproporcionalidad A es la escala vertical. Para que todos los modos de vibración estén dibujados a la misma escala, se calcula A de modo que

Aproximaciones
Cuando qL es grande exp(-qL)≈0 y el seno y el coseno hiperbólico se pueden aproximar a exp(-qL)/2.
Con esta aproximación la ecuación trascendente
(senh(qL)-sen(qL))·(senh(qL)+sen(qL))-(cosh(qL)-cos (qL))2=0
se reduce a
cos(qL)=1/exp(qL).
SiqL es grande cos(qL)=0, Las raíces de esta ecuación son
qnL=π/2+nπ
Los cinco primeros valores de rn=qnL son
rn=4.71, 7.85, 11.00, 14.14, 17.28.
Son prácticamente los mismos, que los calculados resolviendo la ecuación trascendente por procedimientos numéricos
La amplitud y(x) de los distintos puntos x de la barra en el modo normal de vibración n se puede aproximar a

Se puede calcular el...