Minimos cuadrados

UNIVERSIDAD DE LA SERENA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ANALISIS NUMERICO

AJUSTE DE CURVAS CON EL METODO DEL
MINIMO CUADRADO

(FUNCION CONTINUA)

INTEGRANTES:

INTRODUCCION

El estudio de la teoría de la aproximación implica dos tipos de problemas. Uno aparece cuando se tiene explícitamente una función pero se desea encontrar un tipo defunción “mas simple” como el polinomio, que puede servir para determinar valores aproximados de una función dada. El otro problema en la teoría de la aproximación es la concerniente a ajustar funciones a un conjunto de datos y encontrar la “mejor” función de cierta clase que pueda usarse para representarla.
En este trabajo nos enfocaremos a explicar y desarrollar el problema de la aproximación defunciones.

Aproximación por mínimos cuadrados caso continuo

POLINOMIOS CONTINUOS Y APROXIMACION POR MINIMOS CUADRADOS

Supóngase que [pic] y que se requiere un polinomio de grado a lo mas n , es decir [pic], que minimice el error

[pic]

Para determinar un polinomio de aproximación de mínimos cuadrados, esto es, un polinomio que minimice esta expresión, sea

[pic]
Ydefinamos, como se muestra en la fig 1

[pic]

El problema es encontrar los coeficientes reales [pic] que minimizaran a E. Una condición necesaria para que los valore [pic] minimicen a E es que
[pic] para cada j=0,1,….,n.

PAG. 02

Puesto que

Así para encontrar P[pic], las (n+1) ECUACIONES NORMALES lineales

Deben resolverse para determinar las (n+1) incógnitas a[pic][pic]. Puedenmostrarse que las ecuaciones normales siempre tiene una solución única para una , y a distinto de b

EJEMPLO 1

Encuentre el polinomio de aproximación de mínimos cuadrados de grado dos para la función f(x)=senπx en el intervalo (0,1). Las ecuaciones normales para
Están dadas por:

Realizando las integrales se llega a

Las tresecuaciones con tres incógnitas pueden resolverse para obtener:

Y

Consecuentemente, el polinomio de aproximación de mínimos cuadrados de grado dos para en [0,1], es (fig. 8.6)

PAG. 03

El ejemplo 1 ilustra la dificultad de obtener el polinomio deaproximación de mínimos cuadrados. Se debe resolver un sistema lineal de (n+1)x(n+1) para determinar los
coeficientes [pic] de [pic]. Los coeficientes en el sistema lineal son de la forma
[pic],

un sistema lineal que no tiene una solución numérica conveniente. La matriz en el sistema lineal se conoce como matriz Hilbert. Esta matriz mal condicionada es un ejemplo clásico para demostrar lasdificultades del error de redondeo; no pueden usarse técnicas de pivoteo satisfactoriamente. Otra desventaja es similar al caso que ocurre con los polinomios de LaGrange. Los cálculos que se realizaron para obtener el mejor polinomio de grado n, o sea, [pic], no disminuyen la cantidad de trabajo para obtener [pic], el polinomio del siguiente grado mayor.
Enseguida se considerara una técnica diferentepara obtener las aproximaciones de mínimos cuadrados. Esta técnica resulta ser eficaz en los cálculos, y una vez que se conoce [pic] es fácil determinar [pic].Para esta técnica se necesitan algunos conceptos adicionales.

Definición:
El conjunto de funciones {[pic]} es linealmente independiente en [pic] si siempre que
[pic] para toda [pic],
Entonces [pic]. De otra manera se dice que elconjunto de funciones es linealmente dependiente.

Teorema8.2:
Si para cada j=0,1,…., n, se tiene que [pic]es un polinomio de grado j, entonces {[pic]}es linealmente independiente en un intervalo [pic].

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Puesto que el polinomio [pic]se anula en [pic], son cero los coeficientes de todas las potencias de [pic]. En particular el coeficiente de [pic]es nulo. Puesto que [pic]es el...