Minimos Cuadrados

Páginas: 4 (848 palabras) Publicado: 31 de enero de 2016
Ajuste de Curvas por Mínimos Cuadrados
Sea V un espacio vectorial normado y sea W un subespacio de V. Sea
función en V. Se desea hallar g*∈W tal que:

f ( x ) − g * ( x ) ≤ f ( x ) − g( x ) ;

∀g ∈Wf una

o bien

f ( x ) − g * ( x ) = min f ( x ) − g ( x ) ;
g ∈W

y=g*(x)
y=f (x)

b

a

Sea B = {ϕ0 ( x ), ϕ1( x ), ..., ϕn ( x ) } una base para W, entonces podemos expresar a
la función g* comouna combinación lineal de las funciones de B, esto es:
n

[1]

g* ( x) =

∑ α ϕ ( x)

;

i i

donde los coeficientes α i ∈ ℜ son las constantes a

i =0

calcular.
Usando la Norma_2 tendremos que:
1b
2
2

[ f ( x ) − g * ( x ) ] w( x )dx  ; donde la función w(x) es una
[2]
f ( x) − g* ( x) 2 =

a

función de peso en [a, b]. Nuestro problema será encontrar las constantes α i ∈ ℜ tales
queminimicen [2]. Tomando w(x) = 1, sustituyendo [1] en [2] y desarrollando su



cuadrado tenemos:
b

f ( x) − g* ( x)

2
2

b

2

n


= [ f ( x ) − g * ( x ) ] dx =  f ( x ) −
α i ϕi ( x )  dx =

i=0

a
a 



2





2

n
 n
 
2
= f ( x ) − 2f ( x )
αi ϕi ( x ) + 
αi ϕi ( x )  dx =

 

 i =0
 
i =0
a 
b





b

b

=



a

2

b

 n

= f ( x ) dx − 2 f ( x )
α i ϕi ( x)dx + 
αi ϕi ( x )  dx =


i =0

a
a
a  i =0
b
b
b
n 
 n 

2
2 2



f ( x ) dx − 2
α i f ( x ) ϕi ( x ) dx +
α i ϕi ( x ) dx  + 2 (α 0 α1ϕ0 ( x ) ϕ1( x ) )dx +
 i =0 

i =0 
a
 a
a




b



n





2

∑ ∫

∫∑

∑∫

b



b



b





... + 2 (α i α i −1ϕi ( x ) ϕi −1( x ) )dx + 2 (α i α i +1ϕi ( x ) ϕi +1( x ) )dx + ... + 2 (αn −1αn ϕn −1( x ) ϕn ( x ) )dx
a

a

aDerivando parcialmente respecto a algún α i con i = 0,…,n, e igualando a cero
obtenemos:


f ( x) − g* ( x)
∂α i

b
2
2

b



= − 2 f ( x ) ϕi ( x ) dx + 2α i
a



n

ϕi2 ( x ) dx

∑ α ϕ ( x ) ϕ ( x )dx =0

+2

j

j

i

j =0
j ≠i

a

Simplificando y reorganizando tenemos:
b

[3]

b

n

∫ f ( x ) ϕ ( x )dx = ∑ α ∫ ϕ ( x ) ϕ ( x )dx ;
i

j

j =0

a

j

i

∀i = 0,..., n

a

b

Sabemos que

f ,g...
Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.

Estos documentos también te pueden resultar útiles

  • minimos cuadrados
  • minimos cuadrados
  • MINIMOS CUADRADOS
  • minimos cuadrados
  • minimos Cuadrados
  • minimos cuadrados
  • MINIMOS CUADRADOS
  • Minimos cuadrados

Conviértase en miembro formal de Buenas Tareas

INSCRÍBETE - ES GRATIS