Modelación Series De Tiempo

Cap´tulo 7 ı

´ Introduccion a los modelos ARMA
En el cap´tulo anterior fue vista la definicion general de procesos estaı ´ cionarios en covarianza as´ como el tipo particular de procesos de ruidos blanı co (R.B) y fueron introducidos brevemente los procesos autorregresivos de orden 1, AR(1). A continuacion se define al operador rezago B j y el Teorema de ´ Wold, con el cual caracterizamos deforma mas espec´fica a los procesos esta´ ı cionarios en covarianza. Luego se veran los tipos de procesos estacionarios en ´ covarianza: de medias moviles de orden q o MA(q), los autorregresivos de orden ´ p o AR(p) y los procesos lineales autorregresivos de medias moviles de orden p, ´ q o ARMA(p,q). Los tres modelos mencionados son aproximaciones de la representacion de Wold y en ocasiones dos omas de estos modelos pueden producir ´ ´ aproximaciones igualmente buenas a la representacion de Wold (Diebold [3]), ´ as´, la idea es buscar la aproximacion mas parsimoniosa que capture lo mejor ı ´ ´ posible el patron de autocorrelacion presente. ´ ´

7.1. El operador Rezago B j y polinomio de rezagos de orden j
El operador rezago B j es tal que aplicado a la serie {Zt } produce la serie de t´rminos rezagados o retardados j lugares en el tiempo, es decir e B j Zt = Zt−j (7.1)

Ahora bien, un polinomio de rezagos de orden j es el que corresponde a la siguiente expresion ´ Ψj (B) = 1 + ψ1 B + ψ2 B 2 + ψ3 B 3 + · · · + ψj B j (7.2)

Observe que la ecuacion anterior define un polinomio de orden j en B. ´ De (7.1) y (7.2) se tiene que al aplicar Ψj (B) sobre la serie {Zt } obtenemos, Ψj(B)Zt = Zt + ψ1 Zt−1 + ψ2 Zt−2 + ψ3 Zt−3 + · · · + ψj Zt−j (7.3) Cuando j = ∞ tenemos un polinomio de rezagos infinitos el cual simplemente denotamos como ∞ Ψ(B) =
i=0

ψi B i , con ψ0 = 1 185

(7.4)

186

´ ´ CAPITULO 7. INTRODUCCION A LOS MODELOS ARMA

Este polinomio se conoce como filtro lineal (ver Seccion 4.2.1). ´

´ 7.2. El Teorema de representacion de Wold
Sea {Zt } cualquierproceso estacionario en covarianza de media cero (se esta requiriendo que el proceso no contenga componentes deterministas), en´ tonces este proceso se puede representar como un filtro lineal de un proceso de ruido blanco, es decir:
∞ ∞

Zt = Ψ(B)at =
i=0

ψi at−i , con at ∼

2 R.B(0, σa ),

ψ0 = 1 y
i=1

2 ψi < ∞

(7.5)

´ Los at se denominan innovaciones y a la ecuacion (7.5)proceso lineal general. NOTA: Supondremos que el ruido blanco es gaussiano, es decir que los t´ rmie nos que lo conforman son variables aleatorias normales de media cero, varianza constante e incorrelacionados (independientes bajo la normalidad). El Teorema de representacion de Wold nos dice que cuando se formulan ´ modelos de pronostico para series estacionarias en covarianza de media cero, ´ solose necesitan considerar modelos de un proceso lineal general o de filtro ´ lineal de un ruido blanco. Puede demostrarse que bajo las condiciones del Teorema de Wold se cumple que: E[Zt ] = 0, la media del proceso
∞ 2 VAR = σa i=0 2 ψi < ∞, la varianza del proceso y es finita ∞

(7.6) (7.7)

E[Zt |at−1 , at−2 , · · · ] =
∞

ψi at−i , la media dado las innovaciones pasadas (7.8)
i=1

2VAR[Zt |at−1 , at−2 , · · · ] = σa , la varianza dado las innovaciones pasadas 2 γ(k) = σa i=0

(7.9) (7.10)

ψi ψi+k , la autocovarianza del proceso

Mientras que la media incondicional es constante en el tiempo, la media condi´ cional se mueve en el tiempo en respuesta al conjunto de informacion que evoluciona, capturando la dinamica del proceso, lo cual es importante para la ´ realizacion depronosticos. ´ ´

´ ´ 7.3. Funcion de autocorrelacion Parcial o PACF
Considere un proceso estacionario en covarianza {Zt }t≥1 de media cero. La funcion de autocorrelacion parcial o PACF (Partial Autocorrelation Function) ´ ´ corresponde a la autocorrelacion entre Zt y Zt+k despu´ s de remover las de´ e pendencias lineales mutuas con las variables Zt+1 , Zt+2 , · · · , Zt+k−1. Es decir, la...