reales

Capítulo 1

Números reales
1.1. Sistemas numéricos
1.1.1.

Números naturales: principio de inducción

Los números 1, 2, 3, . . . , reciben el nombre de números naturales. Con ellos se realizan dos operaciones, la suma de números naturales y el producto de números naturales, que dan como resultado
otro número natural perfectamente definido. Para dos números naturales cualesquiera m y n, su sumasuele representarse por m + n y su producto por m · n o mn (si no hay lugar a confusión). Si denotamos
con N el conjunto de todos los números naturales, podemos pensar en la suma y el producto como
aplicaciones del producto cartesiano N × N en N:
+ : N×N
(m, n)

→
→

N,
m+n

· : N×N
(m, n)

→
→

N.
m·n

A continuación describimos las propiedades fundamentales de estas operaciones (m, n, prepresentan números naturales cualesquiera):
• Propiedad asociativa de la suma: (m + n) + p = m + (n + p).
• Propiedad conmutativa de la suma: m + n = n + m.
• Propiedad asociativa del producto: (mn)p = m(np).
• Propiedad conmutativa del producto: mn = nm.
• Elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número natural, que denotamos por 1,
tal que 1 · n = n · 1 = n.
• Propiedad distributiva delproducto respecto de la suma: m(n + p) = mn + mp.
Se puede asimismo comparar el tamaño de dos números naturales cualesquiera y establecer así una
relación de orden en N. Suele escribirse m ≤ n para indicar que m es menor o igual que n (o lo que
es lo mismo, que n es mayor o igual que m, lo que también se escribe n ≥ m); y se escribe m < n (o
n > m) para expresar que m es estrictamente menor que n, esdecir, que m es menor (y distinto) que n.
Esta relación cumple las siguientes propiedades (m, n, p representan números naturales cualesquiera):
• Propiedad reflexiva: m ≤ m.
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• Propiedad antisimétrica: si m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n.
• Propiedad transitiva: si m ≤ n y n ≤ p, entonces m ≤ p.
• Propiedad de orden total: siempre es m ≤ n o n ≤ m.

La ordenación de Nno es independiente de la suma y el producto: para dos números naturales m,
n se tiene m > n si y solo si m = n + p para algún número natural p.
Principio de buena ordenación. Todo conjunto no vacío de números naturales posee un elemento
mínimo, es decir, dado S ⊆ N no vacío, existe un elemento m en S tal que m ≤ n para todo n ∈ S.
El principio de inducción. Esta es una de las propiedades de N quemás vamos a usar durante el
curso. Se puede enunciar así:
• si un conjunto de números naturales contiene a 1 y por cada elemento n del conjunto también
n + 1 pertenece a él, entonces el conjunto es N. Es decir, dado S ⊆ N tal que 1 ∈ S y n + 1 ∈ S
siempre que n ∈ S, es S = N.
En la práctica, el principio de inducción suele aplicarse en términos de propiedades más que en términos de conjuntos:
•supongamos que para cada número natural n se tiene una propiedad Pn que puede ser cierta o
falsa. Supongamos además que:
a) P1 es cierta;
b) si para algún n ∈ N la propiedad Pn es cierta, entonces la propiedad Pn+1 también es
cierta.
Entonces, Pn es cierta para todo n ∈ N.
La siguiente variante se llama principio de inducción completa:
• supongamos que para cada número natural n se tiene unapropiedad Pn que puede ser cierta o
falsa. Supongamos además que:
a) P1 es cierta;
b) si para algún n ∈ N todas las propiedades P1 , P2 , . . . , Pn son ciertas, entonces Pn+1 también
es cierta.
Entonces, Pn es cierta para todo n ∈ N.
Es un hecho notable, señalado por el matemático italiano Peano en su obra Arithmetices principia
nova methodo exposita (Bocca, 1889) que todas las propiedades de losnúmeros naturales pueden
deducirse de las siguientes, llamadas en su honor axiomas de Peano para los números naturales:
• Para todo número natural n existe otro número natural, ns , que se llama siguiente o sucesor
de n.
• Existe un número natural, que denotamos por 1, tal que ns = 1 cualquiera que sea el número
natural n.

1.1. Sistemas numéricos

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• Para números naturales cualesquiera m y n, es...