Numeros Complejos

GUIA TEORIA 1 TEMA: LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1. Origen
Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado ax2  bx  c  0 se analizó el signo del discriminante b2  4ac y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vas ahora a estudiar los números complejos que te darála idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Ejemplo:

x 2  x  4  0  raices : x 

1  1  16 1  15 1  15. 1 1  15.i  x1   x1   x1  2 2 2 2

2.

Números imaginarios.
Como se puede observar aparece un número i  1 , llamado unidad imaginaria. Observa los resultados de las potencias consecutivas del número i:i  1; i 2  1; i3  i; i 4  1 .
Lo cual significa que las potencias se repiten de forman periódica en la cuarta potencia. 239 Esto significa por ejemplo que si yo tengo i , entonces como el periodo es 4 divido 239 entre 4. Al dividir te habrás percatado, estimado Tigre, que el residuo de la división es 3, en consecuencia tenemos i
239

 i3  i .
23

Ejemplo: simplificar E  iResuelve: 1. 2.

 i 41  i55  i  i3  i1  i 3  i1  0
25

E  i124  i 47  i 45  i 65 E  i895  i564  i 432  i 987

3.

Definición.
Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra Z al conjunto de los pares de números reales  a, b  , lo cual también se expresa Z=a+bi. La primera es la llamada forma par ordenado y la segunda la forma binómica. Fíjate el ejemplode la ecuación

Z

 1 15  1 15  i , 2 2   2 2  

En el número complejo  a, b  llamaremos a a la parte real y b la parte imaginaria. Igualdad.

 a, b    c, d   a  c

 bd

Ejemplo: Dados Z1  m  5i; Z 2  9  ni hallar m+n si Z1 = Z 2 Por definición m=9, n=-5, entonces m+n=4

3.

Operaciones:

1

Suma y Restas.  a, b    c, d    a  c, b  d Ejemplo: sumar Z1  3  5i; Z 2  9  7i

Z1  Z2   3  9    5  7  i  12  2i
Multiplicación. Se efectúa como en el algebra. Ejemplo: multiplicar Z1  3  5i; Z 2  9  7i

Z1.Z 2   3  5i  9  7i   (3)(9)  (3)(7i)  (5i)(9)  (5i)(7i)  27  21i  45i  35i 2  Z1.Z 2  27  21i  45i  35(1)  62  24i

Ejemplo. Si z1  (3, 2) y z2  (4, 1) , halle z1  z2 y z1 z2 .
z1 z2  (3, 2)  (4, 1)  3  2i    4  i   7  i
z1 z2  (3, 2) (4, 1)  (3  2i)(4  i)  12  3i  8i  2i 2  (12  2)  (3  8)i  14  5i

Multiplicación por un escalar. (a, b)  ( a,  b) donde    . (Escalar es un numero real cualquiera) Ejemplo: hallar 2(3-4i)=6-8i Ejemplo. Dados  2,1 y  0, 3  , (OJO (2,1)=2+i) hallar: a)  2,1   0, 3   2  0,1  (3)    2,  2 b)  2, 1 0,  3   2(0)  1(3), 2(3)  1(0)    3,  6  c)  2,1 0, 3  2  1,1   3,  6    2,  2    5,  8

4.

Grafica
Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano  2 . En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las x y eje imaginario (Im) al eje de las y .

Gráfica 1:Representación del número complejo (a, b) . Ejemplo. Si z1  (3, 2) y z2  (4, 1) , halle z1  z2 y z1 z2 .
z1  z2  (3, 2)  (4, 1)   3  2i    4  i   7  i

2

z1 z2  (3, 2) (4, 1)  (3  2i)(4  i)  12  3i  8i  2i 2  (12  2)  (3  8)i  14  5i

5.

Conjugado de un numero complejo

Si z  x  yi es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número z x  yi , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo opuesto. Ejemplo. Si z  3  2i , entonces z  3  2i y si z  3  2i , entonces z  3  2i .

6.

Modulo y Argumento de un numero complejo

Sea z  (a , b)  a  bi un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo
z , al número real dado por a 2  b2 y lo...