Operaciones Con Conjuntos

Apuntes de Matem´tica Discreta a 2. Operaciones con Conjuntos

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e
C´diz, Octubre de 2004 a

Universidad de C´diz a

Departamento de Matem´ticas a

ii

Lecci´n 2 o

Operaciones con Conjuntos
Contenido
2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.32.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.3 2.4 2.3.1 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 Uni´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Intersecci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . Diferencia Sim´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Leyes Idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 16 17 17 17 20 20 20 21 21 22 23 23 24 28 29 30 30 30 30 32

Algebra de conjuntos. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leyes Conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . Leyes Asociativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leyes Distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leyes de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ley Involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leyes delComplementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o n-tupla ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Igualdad de n-tuplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conjunto de las Partes de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Producto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introduciremos las operaciones conconjuntos que nos van a permitir obtener nuevos conjuntos, partiendo de conjuntos ya conocidos. A y B ser´n dos conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U . a

2.1

Definiciones

Definiremos las principales operaciones entre conjuntos. 15

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Departamento de Matem´ticas a

2.1.1

Uni´n o

La uni´n de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos loselementos que pertenecen a A o o a B. Se nota A ∪ B. A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} . La disyunci´n, ∨, se utiliza en el sentido inclusivo, es decir, significa “y/o”. o

2.1.2

Intersecci´n o

La intersecci´n de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen o a A y a B. Se nota A ∩ B. A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} Si A y B no tienen elementos en com´n, es decir,si A ∩ B = ∅, entonces diremos que A y B son u conjuntos disjuntos. Ejemplo 2.1 Sean A, B y C tres conjuntos.

(a) Demostrar que si C ⊆ A y C ⊆ B, entonces C ⊆ (A ∩ B), es decir, A ∩ B es el mayor conjunto que contiene a A y a B. (b) Demostrar que si C ⊇ A y C ⊇ B, entonces C ⊇ (A ∪ B), es decir, A ∪ B es el conjunto m´s a peque˜o que contiene a A y a B. n Soluci´n o (a) Supongamos que C ⊆ A y C⊆ B, entonces la proposici´n o ∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ ∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ B) es verdad. Esta proposici´n es equivalente a o ∀x [(x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ (x ∈ C =⇒ x ∈ B)] la cual, a su vez, equivale a ∀x, [ x ∈ C =⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B)] de aqu´ que ı ∀x, x ∈ C =⇒ x ∈ [(A ∩ B)] y, por lo tanto, C ⊆A∩B (b) Supongamos que C ⊇ A y que C ⊇ B, y sea x un elemento arbitrario de A ∪ B entonces, x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ =⇒ ⇐⇒...