Oscilador Armonico

Capítulo 5. Oscilador armónico
5.1. Oscilador armónico unidimensional 5.1.1. Reescalamiento 5.1.2. Solución en series 5.1.3. Valores propios 5.1.4. Normalización 5.1.5. Elementos de matriz 5.2. Operadores de creación y de aniquilación 5.2.1. Ecuación de valores propios 5.2.2. Función propia del estado basal Anexo 5.1. Comportamiento asintótico de u ′′ + λ − ξ 2 u = 0 Anexo 5.2. Polinomios deHermite, H n (ξ )

(

)

5. Oscilador armónico
El estudio de las oscilaciones tiene gran importancia en la mecánica cuántica. Las oscilaciones armónicas se usan como modelo para describir las interacciones que presentan una posición de equilibrio y, en particular, son el modelo más usado para estudiar vibraciones.

5.1. Oscilador armónico unidimensional
Un oscilador armónico se caraterizapor un fuerza que es proporcional al desplazamiento, respecto a la posición de equilibrio. Por lo tanto, para este sistema se tiene un potencial cuadrático, V ( x ) = 1 kx 2 . En este caso, la ecuación de valores propios 2 de la energía, Hu E = Eu E , toma la forma

d 2 uE 1 − + mω 2 x 2 u E = Eu E , 2 2 m dx 2
2

en donde ω 2 ≡ k m , así,

uE − ′′

m 2ω 2
2

x 2 uE = −

2 mE
2uE .

5.1.1. Reescalamiento
Esta ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes polinomiales presenta varias combinaciones de constantes que pueden eliminarse mediante un cambio de escala (reescalamiento). Sea ξ ≡ αx la nueva variable independiente, con α > 0 , entonces

d dξ d d ξ = =α y uE ( x ) = uE = u(ξ ) . Mediante esta transformación la dx dx dξ dξ α

ecuación diferencial tomala forma

u ′′ −
en donde λ ≡

mω

2

ξ 2u = −λ u , α4
> 0 . Si se elige α de tal forma que mω

2 mE
2

α

2

α2

= 1 , entonces

5-2

u ′′ − ξ 2 u = − λ u ,
con α =

mω

y E=

1 2

ωλ .

5.1.2. Solución en series
Para resolver la ecuación diferencial con coeficientes variables se usa el método de Frobenius (método generalizado de serie de potencias). En estemétodo se propone una solución en series de la forma

u(ξ ) = ξ

∞
s j =0

C jξ j =

∞
j =0

Cjξ

s+ j

,

en donde C0 ≠ 0 . Al sustituir el serie en la ecuación diferencial se tiene que

0 = C0 s( s − 1)ξ −2 + C1 ( s + 1) sξ −1 + (C2 ( s + 2)( s + 1) + C0 λ ) +(C3 ( s + 3)( s + 2) + C1 λ )ξ +
∞
j =2

[C

j j + 2 ( s + j + 2 )( s + j + 1) − C j − 2 + C j λ ]ξ

,

yal igualar los polinomios se obtienen las relaciones siguientes,

C0 s( s − 1) = 0 , C1 s( s + 1) = 0 , C2 ( s + 1)( s + 2) + λC0 = 0 , C3 ( s + 2)( s + 3) + C1 λ = 0 ,
C j + 2 (s + j + 1)(s + j + 2) − C j − 2 + λC j = 0 , ( j = 2,3,

).

A la primera ecuación se le denomina ecuación indicial y permite determinar los valores de s , en este caso se tiene que s = 0,1 . Debido a que se tiene unpotencial simétrico, las funciones propias deben tener paridad definida, pero, por la forma de la serie de potencias, el factor que aparece fuera de la suma tiene la misma paridad que el parámetro s , por lo que la suma debe ser par. Por esta razón, C1 = 0 , al igual que todos los coeficientes impares. Los coeficientes pares se obtienen a partir de las relaciones de recurrencia,

5-3

C2 = −( s + 2)( s + 1)

λ C0

,

Cj + 2 =

(s + j + 2)(s + j + 1)

C j − 2 − λC j

,

( j = 2,4,6, ) .

Esta ecuación diferencial genera una relación recursiva de tres términos, para la cual no es posible obtener una solución cerrada de los coeficientes. Por esta razón es necesario transformarla. Una posibilidad consiste en separar su comportamiento asintótico (ver Anexo 5.1). Paravalores grandes de |x| , u ′′ ~ ξ 2 u , por lo que la solución debe tener la forma

u ~ e −αξ . Así, u ′ = −2αξ e −αξ y
2
2

0 = u ′′ − ξ 2 u + λu = e −αξ 4α 2 ξ 2 − ξ 2 − 2α + λ ~ e −αξ 4α 2 − 1 ξ 2
2 2

[

]

[

]

por lo que 4α 2 = 1 , o bien α = ± 1 . Sólo para α negativa se tiene una solución 2 normalizable, por tanto u ~ e
−ξ 2

2

.

El resultado anterior sugiere el...