Pautaev2 Ll13_al Copia

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

PAUTA EVALUACION 2
ALGEBRA LINEAL (520131)
Problema 1.a) Encuentre las ecuaciones vectorial, param´etricas y sim´etricas de la recta
que pasa por el punto (−1, 3, 4) y es paralela a la recta de ecuaci´on,
3y − 2
3−z
2x − 1
=
=
.
4
3
−4
b) Verifique que las siguientes rectas, de ecuacionessim´etricas dadas a continuaci´on, son perpendiculares,
L1 :

y−2
z+1
x−3
=
=
−4
1
2

y L2 :

x+5
y−4
z−3
=
=
.
2
10
−1
(20 puntos)

SOLUCION
a)
L1 :
=⇒ L1 :

3y − 2
3−z
2x − 1
=
=
4
3
−4
2(x − 12 )
3(y − 23 )
z−3
=
=−
4
3
−4

y − 32
x − 12
z−3
=
=
2
1
4
Entonces v1 = 2i + j + 4k es el vector director de L1
Como la recta, cuya ecuaci´on se desea obtener debe ser paralela a L1 entonces
su vectordirector se toma como v1 y, como debe pasar por el punto P (−1, 3, 4),
luego, si R(x, y, z) es cualquier punto de la recta, se tiene que:
=⇒ L1 :

−→ −→
OR = OP + tv,

t ∈ IR

=⇒ xi + yj + zk = −i + 3j + 4k + t(2i + j + 4k), t ∈ IR;
siendo esta la ecuaci´on vectorial. De esta ecuaci´on se tiene que:
1

xi + yj + zk = (−1 + 2t)i + (3 + t)j + (4 + 4t)k, t ∈ IR;
con lo cual se obtiene:

x = −1 + 2t
y = 3+t

z = 4 + 4t

t ∈ IR;

y estas son las ecuaciones param´etricas. Despejando t en estas ecuaciones se
llega a:
x+1
y−3
z−4
=
=
2
1
4
que corresponden a las ecuaciones sim´etricas:
b)
x−3
y−2
z+1
L1 :
=
=
−4
1
2
L2 :

x+5
y−4
z−3
=
=
2
10
−1

v1 = −4i + j + 2k, vector director deL1 .
v2 = 2i + 10j − k, vector director de L2 .
Ahora
v1 · v2 = (−4)2 + 1(10) + 2(−1)
= −8 + 10 − 2 = 0

Por lotanto v1 es perpendicular a v2 .
Punto de intersecci´on entre L1 y L2 :

Si (x0 , y0 , z0 ) ∈ L1 ∩ L2 , de las ecuaciones sim´etricas, se tiene que existen s0 y
t0 n´
umeros reales tales que

x0 = −4s0 + 3 = 2t0 − 5 
y 0 = s0 + 2
= 10t0 + 4
(∗)

z0 = 2s0 − 1
= −t0 + 3
−4s0 + 3 = 2t0 − 5
= 10t0 + 4
=⇒ s0 + 2
2s0 − 1
= −t0 + 3
−4s0 − 2t0 = −8
=
2
=⇒ s0 − 10t0
2s0 + t0
=
4
lo que se llega a unsistema de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones y dos
inc´ognitas. Para resolver el sistema, se trabaja con su matriz ampliada:

2




−4 −2 −8
 1 −10
2 
2
1
4

f1 ←→ f2






1 −10
4f1 + f2 → f2 
0 −42
−2f1 + f3 →3
0
21


1 −10
2
−4 −2 −8 
2
1
4

2
0 
0

De aqu´ı se obtiene el sistema equivalente al anterior:
s0 − 10t0 = 2
− 42t0 = 0

Obteni´endose s0 = 2, t0 = 0
Reemplazando s0 y/o t0 en(*), se tiene

x0 = −5, y0 = 4, z0 = 3
de donde el punto de intersecci´on entre L1 y L2 es (−5, 4, 3).
As´ı los vectores directores v1 y v2 son perpendiculares y L1 y L2 tienen el
punto en com´
un (−5, 4, 3). Por lo tanto L1 es perpendicular a L2 .

Problema 2. Hallar la ecuaci´on del plano π que contiene al punto (0, 3, 5) y
la recta de ecuaci´on vectorial
xi + yj + zk = (−1 + 3t)i + (5 + 2t)j +5tk, t ∈ IR

Adem´as, encuentre la distancia del punto (1, 0, −7) al plano π.

(20 puntos)

SOLUCION
Si L :

xi + yi + zk = −i + 5j + t(3i + 2j + 5k), t ∈ IR

Entonces las ecuaciones param´etricas de L est´an dadas por:.
x = −1 + 3t
y = 5 + 2t
z = 5t
t0 = 0

=⇒

t0 = 1

=⇒

(−1, 5, 0) ∈ L

(2, 7, 5) ∈ L

Sean entonces:P (−1, 5, 0) y Q(2, 7, 5) puntos de la recta y del plano.
−→
R(0, 3, 5) ∈ π ∧R(0, 3, 5) ∈
/ L =⇒ P R = i − 2j + 5k ∈ π y
−→
P R no es paralela a L.
=⇒

−→ −→
n = PQ × PR =

i j
k
3 2
5
1 −2 5
3

= 20i − 10j − 8k

es un vector normal a π.
Tomando el punto (0, 3, 5), la ecuaci´on del plano es
20x − 10(y − 3) − 8(z − 5) = 0
⇒ 20x − 10y − 8z = −70
⇒ 10x − 5y − 4z = −35
Distancia de P (1, 0, −7) a π: P0 (0, 3, 5) est´a en π y luego la distancia de
P a π es
−−→
|n · P P0 |
d=||n||

−→
P P 0 = −i + 3j + 12k
−→
n · P P 0 = −20 − 30 − 96 = −146
||n|| =

√

√

400 + 100 + 64 =

=⇒ d =

146
564

√

564 =
=

73·2
282
73
141

564

√

√

141

141

Problema 3.
a) Sea el espacio vectorial V = IR3 y S = {(x, y, z) ∈ IR3 / z = y − x} un
subconjunto de V . Verificar que S es un subespacio de V .
b) Sean S1 y S2 los siguientes subespacios de IR3
S1 = {(x, y, z) / x + y + z = 0}

S3...