Cap4 II13 1 _al Copia

ALGEBRA LINEAL

520131
Carrera: Ing. Ambiental
Segundo Semestre (2013)

CAPITULO IV
TRANSFORMACIONES LINEALES
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultad de Ciencias Físicas y MatemáticasUniversidad de Concepción

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Transformaciones Lineales
1.- Definición y Ejemplos
Definición : Aplicación Lineal.

Sean V y W dos espacios vectoriales

sobre un cuerpo K. Una función f : V −→ W se diceTransformación
Lineal si satisface las condiciones:
1) f (u + v) = f (u) + f (v)
2) f (λu) = λf (u)

∀u, v ∈ V .

∀u ∈ V, ∀λ ∈ K.

Observaciones
Las Transformaciones Lineales (T.L.) se suelen denotargeneralmente por letras mayúsculas: T,L,...,etc.
Las condiciones 1) y 2) de la definición anterior son equivalentes a
f (αu + βv) = αf (u) + βf (v)

∀u, v ∈ V ; ∀α, β ∈ K
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Transformaciones Lineales

SiV = W , entonces la aplicación se llama Operador Lineal o
Endomorfismo.

2.- Propiedades de Transformaciones Lineales:Kernel e Imagen
Propiedades.

Si T y L son transformaciones lineales de V en W yλ ∈ K, entonces:
T (θV ) = θW .
T (−u) = −T (u),

∀u ∈ V .

T + L es una transformación lineal
λT es una transformación lineal.
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Transformaciones Lineales
Definición :

Lema.

L(V, W ) := {T : V → W: T es lineal } .

L(V, W ) es un subespacio vectorial del espacio de todas las

funciones de V en W .
Definición : Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.
Sean V y W dos espacios vectoriales sobreun cuerpo K, T : V −→ W
una transformación lineal. Se definen el Núcleo o Kernel de T , y la
Imagen de T como los conjuntos:
Ker(T ) := {u ∈ V : T (u) = θW } ⊆ V .
Im(T ) := {T (u) : u ∈ V } ⊆ W .4

Transformaciones Lineales
Teorema.
Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K y T : V −→ W una
transformación lineal. Se tiene:
Ker(T ) es un subespacio de V .
Im(T ) es un subespacio de W.

Definición: Nulidad y Rango.

Dada una apliación lineal T : V −→ W

se llaman nulidad de T a la dimensión del Ker(T ) y rango de T a la
dimensión de Im(T ). Respectivamente se denotan por:
n(T )...