porque fallo su proyecto

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Primer semestre de 2012

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Transformaciones Lineales (MAT023)

DEFINICION
Sean U, V dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y sea T : U −→ V una función. Diremos
que T es una transformación lineal ssi satisface las siguientes dos condiciones:
1. T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ) ∀ u1 , u2 ∈ U .
2. T (α · u) = α · T (u) ∀ α ∈ K, ∀ u ∈ U .
OBSERVACIÓN
La primera condicióndice que la función T transforma la suma de dos vectores en U en la
suma de las imágenes de estos dos vectores en V . Del mismo modo, la segunda condición indica
que T transforma el producto por escalar de un vector en U en el producto del mismo escalar por
la imagen del vector en V .
TEOREMA
Sean U, V espacios vectoriales sobre el cuerpo K; entonces T : U −→ V es una transformación
linealssi
T (α · u1 + β · u2 ) = α · T (u1 ) + β · T (u2 ) ∀ α, β ∈ K, ∀ u1 , u2 ∈ U
Dem.
Debemos probar que T satisface las condiciones 1. y 2. de la definición si y solamente si
T (α · u1 + β · u2 ) = α · T (u1 ) + β · T (u2 ) ∀ α, β ∈ K, ∀ u1 , u2 ∈ U .
⇐

Para la condición 1. basta tomar α = β = 1, y para la condición 2., basta tomar β = 0.

⇒

Sean α, β ∈ K, u1 , u2 ∈ U .

Luego:

T(α · u1 + β · u2 ) = T (α · u1 ) + T (β · u2 ) condición 1. aplicada a αu1 , βu2 ∈ U .
= α · T (u1 ) + β · T (u2 ), por la condición 2.
EJEMPLOS
1. Considere la función T : R −→ R tal que T (x) = 5x. Veamos si T es o no una transformación
lineal.
a) Sean x, y ∈ R. Entonces, T (x + y) = 5(x + y) = 5x + 5y = T (x) + T (y).

Universidad Técnica Federico Santa María

Verónica Gruenberg SternUniversidad Técnica Federico Santa María

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b) Sea x ∈ R, (espacio vectorial), y sea α ∈ R (cuerpo). Entonces,
T (αx) = 5αx = α5x = αT (x).
Así, hemos probado que T (x) = 5x es una transformación lineal. Notar que de la misma
manera podríamos haber probado que T (x) = k · x es una transformación lineal, para
cualquier constante real k.

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Departamento de Matemática

a)Sean x, y ∈ R. Entonces, T (x + y) = 5(x + y) + 9 = 5x + 5y + 9
Claramente, esta última expresión es diferente a T (x) + T (y). Luego, esta función no
es una transformación lineal.
Como antes, vemos que
T (x) = k · x + n nunca es una transformación lineal, salvo que n = 0.
3. Análogamente, podemos probar que funciones f : R −→ R, definidas por expresiones como
f (x) = x2 ó f (x) = sen x ó f (x)= cos x ó f (x) = ax etc. no son lineales.
4. Considere la función T : R2 −→ R2 tal que
o no una transformación lineal.

T (x, y) = (x + y, x − y).

Veamos si T es

a) Sean (x, y), (u, v) ∈ R2 . Entonces,
T ((x, y) + (u, v)) = T ((x + u, y + v)) = (x + u + y + v, x + u − y − v)
= (x + y, x − y) + (u + v, u − v) = T (x, y) + T (u, v)
b) Sea (x, y) ∈ R2 y sea α ∈ R. Entonces,
T (α(x, y))= T (αx, αy) = (αx + αy, αx − αy) = α(x + y, x − y) = αT (x, y)
Así, hemos probado que T (x, y) = (x + y, x − y) es una transformación lineal.
5. Considere la función T : R2 −→ R3 tal que T (x, y) = (x + y, x − y, 2x + 3y). Análogamente,
probaremos que T es lineal:
a) Sean (x, y), (u, v) ∈ R2 . Entonces,
T ((x, y) + (u, v)) = T ((x + u, y + v))
= (x + u + y + v, x + u − y − v, 2x + 2u + 3y+ 3v)
= (x + y, x − y, 2x + 3y) + (u + v, u − v, 2u + 3v)
= T (x, y) + T (u, v)
b) Sea (x, y) ∈ R2
T (α(x, y)) =
=
=

y sea α ∈ R. Entonces,
T (αx, αy)
(αx + αy, αx − αy, 2αx + 3αy)
α(x + y, x − y, 2x + 3y) = α T (x, y)

6. Considere la función T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (x + y, −1). Veamos si T es o no una
transformación lineal.
Sean (x, y), (u, v) ∈ R2 . Entonces, T ((x, y) +(u, v)) = T ((x + u, y + v)) =
(x + u + y + v, −1) = (x + y, −1) + (u + v, 0), (por ejemplo).
Esta última expresión no es igual a T (x, y) + T (u, v). Luego, T no es una transformación
lineal.
MAT023 (1◦ 2012)

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Universidad Técnica Federico Santa María

2. Considere la función T : R −→ R tal que T (x) = 5x + 9. Veamos si T es o no una transformación lineal.

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