Portafolio suma infinita

COLEGIO BILINGÜE BUCKINGHAM

Matemáticas Nivel Medio

Portafolio Tipo I

SUMA INFINITA

Preparado por Juan Manuel Barreto Cód. 002107022

Bogotá, Colombia 2010-2011

Juan Manuel Barreto Cód. 002107022 2 En el siguiente portafolio se investigara la suma de progresiones infinitas. En primer lugar se tomara en cuenta la progresión general con valores fijos para y , suma hasta lostérminos de dicha progresión se puede variables para . La lograr en una hoja de calculo como lo es Microsoft Excel. Para el análisis de estas progresiones se usaran tablas y graficas que demuestran el despliegue de los resultados. Posteriormente se hallara una proposición general para este tipo de progresión donde 1 y varia. Para ampliar la investigación se usara la progresión original pero ahorateniendo en cuenta valores variables para y para . Para analizar estos resultados se usaran tablas y graficas de igual manera que ayuden a comprender los resultados. El siguiente paso será encontrar una proposición general para este segundo tipo de progresión donde tanto como son valores variables. Por ultimo se hallara los alcances y limitaciones que tiene la proposición general. Esta tarea tiene comopropósito investigar la suma de progresiones infinitas en la forma: ! Donde: 1, 1 , 2 1 , 3 2 1 ,…

Es importante resaltar el uso de la notación factorial ! en esta progresión. La notación factorial denota el producto de todos los números naturales desde 1 hasta , de tal manera que: 3! 3 2 1

La expresión factorial es usada solo con números naturales y el 0, sin embargo se puede utilizar connúmeros complejos utilizando la función Gamma, que consiste en graficar los factoriales de los números naturales y a partir de la grafica obtener los valores del factorial para determinado número complejo. En este ejercicio sin embargo solo se trabajara con la notación factorial para números naturales. En el primer ejercicio modificaremos la progresión dándole valores a las variables y , siendo estos1 y 2. Al reemplazar los valores en la progresión obtenemos:

Juan Manuel Barreto Cód. 002107022 3 1, 2 , 1 2 2 1 , 3 2 ,… 2 1

Para esta progresión de términos podemos encontrar , la suma de términos para 0 10, lo que quiere decir la suma de los diez primeros términos de esta progresión. Para este propósito podemos trabajar con el programa Microsoft Excel. En esta hoja de cálculosintroducimos primero una lista de 1 a 10, como la que se ve en la primera columna de la tabla numero 1. Después de esto, en la columna numero 2, insertamos la función donde se reemplazaran los valores siendo esta la segunda columna, y de igual manera con los diferentes valores de la primera columna. Por último para obtener el valor de la suma de los 10 primeros términos podemos hacerlo de manera automáticatambién. Para este propósito programamos la tercera columna para que sume un dato con el siguiente correspondiente en la segunda columna, por ejemplo el primer dato de la tercera columna con el segundo dato de la segunda y el segundo de la tercera con el tercero de la segunda. De esta manera la tabla hecha en Excel quedaría de la siguiente manera:
!

. Excel nos dará el resultado de reemplazar0 en esta función en

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0,69314718 0,24022651 0,05550411 0,00961813 0,00133336 0,00015404 1,5253E-05 1,3215E-06 1,0178E-07 7,0549E-09

1 1,69314718 1,93337369 1,9888778 1,99849593 1,99982928 1,99998332 1,99999857 1,99999989 1,99999999 2

TABLA 1: OBTENCION DE LA SUMA DE LOS DIEZ PRIMEROS TERMINOS

Tras analizar los resultados de la tabla obtenemos que para 0 10,es 2.

, la suma de términos

Juan Manuel Barreto Cód. 002107022 4 De igual manera podemos representar gráficamente la relación que hay entre y . Para este propósito podemos utilizar un programa graficador como Graphmatica, en el cual insertamos los siguientes valores de la tabla número 1 para observar su relación:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1,69314718 1,93337369 1,9888778 1,99849593...