Probabilidad Condicional

UNIDAD 3
Introducción a la Probabilidad

3.2 Probabilidad condicional.
La probabilidad condicional ocurre cuando la probabilidad de un evento A depende de que ya haya ocurrido otro B y se representa P(A│B), se lee probabilidad de A dado que ya sucedió B. Por ejemplo para trabajar en una computadora es necesario (o se tiene como condición) que esté encendida.
La probabilidadcondicional se calcula como:
PAB=P(A∩B)P(B) o PBA=P(A∩B)P(A)

Ejemplo 1:
Hallar la probabilidad de que en un solo lanzamiento de un dado resulte un número menor que 4.
.a) no se da ninguna otra información
b) se sabe que el lanzamiento resultó en un número impar

Solución:
A = {obtener un número menor que 4 al lanzar un dado}
B = {obtener un número impar al lanzar un dado}
P (A) =P(1 o 2 o 3) = P(1) U P(2) U P(3) = P(1) + P(2) + P(3) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = 1/2
P(B) = P(1 U 3 U 5) = P(1) + P(3) + P(5) = 3/6
P(A∩B) = 2/6 = 1/3
PA│B=P(A∩B)P(B) =1312=23
Saber que el resultado del lanzamiento es un número impar aumenta la probabilidad de ½ a 2/3

Ejercicios:
1.- Tres máquinas A, B y C producen respectivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Losporcentajes de defectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona al azar un artículo, hallar:
la probabilidad de que el artículo sea defectuoso.

Sea X = {artículo defectuoso}
Por el principio multiplicativo tenemos que la probabilidad de que al seleccionar un artículo al azar sea defectuoso y que haya sido producido por la máquina A es
P(XA) = P(A)P(X│A) =(0.50)(0.03); de la misma manera se puede obtener la probabilidad de seleccionar un artículo defectuoso y que haya sido producido por las otras dos máquinas.
Aplicando el principio de adición, tenemos que la probabilidad de que al seleccionar un artículo al azar, éste sea defectuoso es:
P(X) = P(A)P(X│A) U P(B)P(X│B) U P(C)P(X│C) esto es:
P(X) = P(A)P(X│A) + P(B)P(X│B) + P(C)P(X│C)
P(X) =(.5)(.03)+(.3)(.04)+(.2)(.05) = 0.037
La probabilidad de que al seleccionar un artículo sea defectuoso es de 0.037

Esta misma solución la podemos obtener mediante un diagrama de árbol.
Siguiendo la rama correspondiente a la probabilidad de artículos defectuosos, donde las probabilidades de la misma rama se multiplican y las probabilidades de ramas diferentes se suman; esto es:
P(X) =(.5)(.03)+(.3)(.04)+(.2)(.05) = 0.037

3.3 Teorema de Bayes.
El teorema de Bayes proporciona un método para calcular la probabilidad condicional, cuando se adquiere información adicional a las estimaciones iniciales.

El teorema de Bayes nos dice:
Supóngase que A1, A2, …, An forman parte de un espacio muestral S* y que B es cualquier evento. Entonces para cualquier iPAiB=PAi)P(BAiPA1)P(BA1+PA2)P(BA2+…+PAn)P(BAn

*Nota: los eventos Ai son mutuamente exclusivos y su unión es S

Ejemplo:
1.- Una empresa manufacturera recibe embarques de partes de dos proveedores distintos. Sea A1 el evento de que una parte provenga del proveedor 1, y A2 el evento de que una parte provenga del proveedor 2. Actualmente, el 65% de las partes que compra la empresa provienen del proveedor 1 y el 35%restante del proveedor 2. Los datos históricos sugieren que el 2% de las partes surtidas por el proveedor 1 son de mala calidad, y el 5% de las partes surtidas por el proveedor también son de mala calidad.
a)¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar una parte sea de mala calidad?
b) ¿cuál es la probabilidad de que al seleccionar una parte sea de mala calidad y que provenga del proveedor 2?Sea X = {artículo defectuoso}
El Teorema de Bayes se resuelve muy fácilmente utilizando un diagrama de árbol.
Para el inciso a) Simplemente se sigue la trayectoria de la rama que lleva a que un artículo sea defectuoso, es decir P(X) = P(X)P(X│p1) U P(X)P(X│p2)
Para el inciso b) se divide la probabilidad de la trayectoria pedida, es decir P(X)P(X│p2) sobre la probabilidad de que el...