Probabilidad y estadística, variables aleatorias discretas, continuas, distribuciones derivadas

PUNTO 1 – VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (20 PTS.)

En la realización de un experimento de laboratorio, se usan termómetros en cuatro puntos de unión de la configuración de un equipo. Estos cuatro termómetros se seleccionan aleatoriamente de un recipiente que contiene siete. Sin que lo sepa el científico, tres de los siete miden incorrectamente la temperatura. Sea X el numero determómetros defectuosos seleccionados y Y, el de termómetros no defectuosos elegidos.

a. (4 pts.) Halle la función de probabilidad conjunta de las variables X y Y.
X termómetros defectuosos
Y termómetros no defectuosos
Se tienen que la cantidad de formas diferentes de tomar X termómetros defectuosos de las 3 existentes, y Y termómetros no defectuosos de los 4 existentes es 3x 4y
Además hay74 formas diferentes de tomar 4 termómetros del recipiente.
La función de probabilidad conjunta es
fx,y=3x4y74, x=0,1,2,3; y=1, 2, 3, 4; x+y=4
f0,4=304474=135
f1,3=314374=1235
f2,2=324274=1835
f3,1=334174=435
| Y |
X | f(x,y) | 1 | 2 | 3 | 4 | g(x) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1/35 | 1/35 |
| 1 | 0 | 0 | 12/35 | 0 | 12/35 |
| 2 | 0 | 18/35 | 0 | 0 | 18/35 |
| 3 | 4/35 | 0| 0 | 0 | 4/35 |
| h(y) | 4/35 | 18/35 | 12/35 | 1/35 | 1 |

b. (4 pts.) Halle la función de probabilidad acumulada de las variables X y Y.
PX≤x, Y≤y=Fx,y= 0x1yfx,y, x=0,1,2,3;y=1, 2, 3, 4
PX≤3, Y≤4=F3,4= 0314fx,y
F3,4=f0,1+f0,2+f0,3+f0,4+f1,1+f1,2+f1,3+f1,4+f2,1+f2,2+f2,3+f2,4+f3,1+f3,2+f3,3+f3,4
PX≤3, Y≤4=F3,4=1
c. (4 pts.) Calcule las funciones de probabilidadmarginales de las variables X y Y.
gx=PX=x=yfx,y
g0=PX=0=yf0,y=f0,1+f0,2+f0,3+f0,4=304474=135
g1=PX=1=yf1,y=f1,1+f1,2+f1,3+f1,4=314374=1235
g2=PX=2=yf2,y=f2,1+f2,2+f2,3+f2,4=324274=1835
g3=PX=3=yf3,y=f3,1+f3,2+f3,3+f3,4=334174=435
hy=PY=y=xf(x,y)
h1=PY=1=xfx,1=f0,1+f1,1+f2,1+f3,1=334174=435
h2=PY=2=xfx,2=f0,2+f1,2+f2,2+f3,2=324274=1835
h3=PY=3=xfx,3=f0,3+f1,3+f2,3+f3,3=314374=1235h4=PY=4=xfx,4=f0,4+f1,4+f2,4+f3,4=304474=135
Organizando se tiene
PX=x=gx=135x=01235x=11835435x=2x=3
PY=y=hy=435y=11835y=21235135y=3y=4
d. (4 pts.) Halle el valor esperado de las variables X y Y.
μX=EX=xyx fx,y=xx gx
0314x fx,y=0f0,1+0f0,2+0f0,3+0f0,4+1f1,1+1f1,2+1f1,3+1f1,4+2f2,1+2f2,2+2f2,3+2f2,4+3f3,1+3f3,2+3f3,3+3f3,4
EX=0314x fx,y=0135+11235+21835+3435=6035=1,71

μY=EY=xyyfx,y=xy hy
0314y fx,y=1f0,1+1f1,1+1f2,1+1f3,1+2f0,2+2f1,2+2f2,2+2f3,2+ 3f0,3+3f1,3+3f2,3+3f3,3+4f0,4+4f1,4+4f2,4+4f3,4
EY=0314y fx,y=1435+21835+31235+4135=8035=2,29
e. (4 pts.) ¿Son las variables X y Y independientes?
Para que las variables aleatorias X y Y sean independientes se debe demostrar que
fx,y=gxhy
Se toma un punto cualquiera para determinar si son independientes
x,y=1,3f1,3=g1h3
1235≠1235×1235
Las variables aleatorias X y Y son dependientes, pues el producto de las dos distribuciones marginales no da la función de masa conjunta. Para la variable aleatoria X el número de termómetros defectuosos seleccionados depende de la variable Y el número de termómetros no defectuosos elegidos, y en el caso inverso también se cumple la dependencia.

PUNTO 2 –VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (20 PTS.)

Industrias “JJ” es una empresa del sector metalmecánico de Colombia dedicada a la fabricación de partes para motos. El producto estrella de la empresa son las bandas de freno RX-100. La variable aleatoria X representa el precio de venta por banda, en dólares, y la variable aleatoria Y representa los costos de fabricación por banda, en dólares. Lavariable aleatoria conjunta continua (X,Y) se distribuye uniformemente sobre el área de la siguiente figura:

a. (4 Pts.) Determine la función de densidad de probabilidad conjunta de las variables X y Y.

X precio de venta, puede tomar valores entre 2 y 5 dólares
Y costo de producción, puede tomar valores entre 0 y 6 dólares

y=x+1 x=5

x= y=x-2...