Probabilidades
´ ´ Andres Cano, Manuel Gomez, Seraf´n Moral ı ´ Departamento de Ciencias de la Computacion Universidad de Granada
Nuevos algoritmos de inferencia en redes de creencia– p.1
El problema
Objetivo principal
Usar intervalos de probabilidad o bien conjuntos de creenc (credal sets) en las redes de dependencia (credal networks Desarrollaralgoritmos de propagación para obtener información a posteriori en credal networks.
Y P(Y)=([.3,.4] , [.6,.7]) [.2,.3] [.7,.8] X P(X | Y)= [.4,.6] [.4,.6] ¿ P(X) ?
Nuevos algoritmos de inferencia en redes de creencia– p.2
Conjunto de creencia - Intervalos
´ Ejemplo de conjunto de creencia asociado a una distribucion dada por intervalos
P (Cancer) =
[0.2,0.3] si Cancer = ausente[0.7,0.8] si Cancer = presente
P(ausente)
1.0 0.9 0.8 0.7
(0.2,0.8) V ertices(P (Cancer)) = (0.3,0.7)
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
P(presente)
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Conjuntos de creencia - Intervalos
Otro ejemplo
[0.0,0.5] si X = x1 [0.0,0.5] si X = x2 [0.0,1.0] si X = x3
0.1 0
P (X) =
0.3
(1,0,0)
P(u ) 1
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6
p1 =(0.5,0.5,0.0) p =(0.0,0.0,1.0) 2 V ertices(P (X)) = p3 =(0.5,0.0,0.5) p =(0.0,0.5,0.5)
4
P(u ) 2
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.2
p 1
p 3
0.5 0.4 0.3 0.2
(0,1,0)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
p 4
p 2 (0,0,1)
0.1 0
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0.8 0.9 1.0
P(u ) 3
Conjuntos de creencia condicionales
Un conjunto de creencia condicional H X|Y sobre X dado u conjunto de variables Y es un conjunto convexo y cerrado de distribuciones
p : X × Y −→ [0, 1]
que verifican
p(xi , yj ) = 1, ∀yj ∈ ΩY
xi ∈ΩX
Aquí trabajaremos con un conjunto de creencia H X|Y=yj para cada configuración yj de Y (separately specifiedcred sets).
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Conjuntos de creencia condicionales
y1 x1 x2 [0.2,0.3] [0.7,0.8] y2 [0.4,0.6] [0.4,0.6]
P (X|Y ) =
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Inferencia en Credal networks
Una red de creencia (credal network ) es un DAG en el que PSfrag replacements se asocia un conjunto de creenciacondicional H X|Y (definido mediante un conjunto de conjuntos convexos especificados separadamente).
HY y1 0.1 0.2 y2 0.9 0.8
Y
r1 r2
H X|Y =y1
x1 0.2 0.3
x2 0.8 0.7
H X|Y =y2 q1 q2
x1 0.4 0.6
x2 0.6 0.4
X
p1 p2
El objetivo de la inferencia en redes de creencia será obtener los intervalos a posteriori de los valores de una variable Xq (∀xi ∈ ΩXq ) dado un conjuntode variables q observadas XE .
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Inferencia en Credal networks
Aplicando un algoritmo de propagación exacto obtendríamos un conjunto convexo de distribuciones de Ω X en [0, 1], que llamaremos Rq .
Por ejemplo, si Xq puede tomar dos posibles valores x1 y x2 q q entonces Rq estaría formado por una serie de vértices (p1 , p2 ) (pi =p(xi , xE ), siendo xE la evidencia dada). q PSfrag replacements p(x2 , xE ) q
bx 2 q
4 3
ax 2 5 q
1 0
2
p1+ p2 =1
p(x1 , xE ) q bx 1 q
ax 1 q
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Inferencia en Credal networks
Normalizando cada uno de los vértices de Rq podremos calcular el mínimo y máximo de la probabilidad a posteriori para cada xi ∈ ΩXq : q
a =m´ {pi /(p1 + p2 ) | (p1 , p2 ) ∈ Rq } ın
i
(1)
i PSfrag replacements
b = m´x{pi /(p1 + p2 ) | (p1 , p2 ) ∈ Rq } a p(x2 , xE ) q bx 2 q
4 3
ax 2 q
0
5 1
2
p + p =1 1 2
ax1 q
bx 1 q
p(x1 , xE ) q
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Inferencia en Credal networks
El tiempo requerido para la inferencia exacta en redes de creencia...
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