Problema Resuelto Oscilacciones

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El sistema masas-resorte que se presenta está
conformado por dos cajas de masas m1 y m 2
respectivamente, colocada una sobre la otra. Existe
entre ellas un coeficiente de roce estático µe y la
caja m1 está ubicada en una superficie lisa. El resorte
de constante de elasticidad KR

tiene su extremo

derecho soldado a la caja m1 y el izquierdo está
empotradoen una pared, tal y como se observa en la
figura.

Datos:

m1 = 5 kg; m2 = 3 kg; kR = 100 N m; g = 9, 8 m s

2

Sí se considera que no hay deslizamiento entre m1 y m2 y las condiciones iniciales
son: x(0) = 0, 2 m y v ( 0 ) = 0, 3 ˆi m s
1. Calcular la amplitud y el ángulo de fase del movimiento.
2. ¿Cuál será la rapidez del oscilador cuando su posición sea x = 0,10 m ?
3.

¿Cuánto tiempo tardael oscilador en alcanzar por primera vez una velocidad de
v = − 0, 6 ˆi m s ?

4. ¿Cual debe ser el coeficiente de roce estático máximo entre m1 y m2 para que m2 no
deslice?
Sí cuando el sistema está en la posición x = A se retira

m2

5. Comparando esta nueva situación con la anterior, se puede afirmar que:
a) Amplitud
b) Amplitud
c) Amplitud
d) Amplitud
aumenta y ω
disminuye y ω
permanece igualy
permanece igual
el periodo
y el periodo
aumenta
aumenta
aumenta
disminuye
6. La energía potencial del sistema masa – resorte cuando su v

= 0, 2 ˆi m s (en J) es:

SOLUCIÓN
1. Calcular la amplitud y el ángulo de fase del movimiento:
Para determinar la amplitud (A) del movimiento, observamos de qué información
disponemos.
Tenemos las condiciones de posición y velocidad en el instante t=0, porlo que podemos
calcular A por la ecuación de energía mecánica, valor que es constante en cualquier instante
de tiempo:

E s is t . e n x = A = E s is t .e n t = 0

m V02
K R x 02
K RA2
=
+
2
2
2
K
R
com o ω 2 =
m
V 2
A 2 = 02 + x 0 2
ω
Sustituyendo Vo, Xo y

✁ en la

ecuación de A:

 

Para hallar :
Este caso consiste en un
sistema masa – resorte. Las
masas de las cajas y constante
del resorte sondatos del
problema. Sabiendo que:

0,32
A =
+ 0, 22
2
3,54
A = 0, 217m
2

ω2 =

KR
m

100
5+3
ω = 3,54rad / s
ω2 =

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El ángulo de fase (δ
δ) lo determinamos a partir de las condiciones iniciales, para t=0,
x(0) = 0, 2 m y v ( 0 ) = 0, 3 ˆi m s
x = A cos(ωt + δ )( m )
Usando la función posición:

Despejando δ:
RECUERDA
COLOCAR
TU
CALCULADORA
EN RADIANESsustituyendo A y ω :
x = 0,217 cos(3,54t + δ )( m )
verificamos con la ecuación velocidad:

para : t = 0, x0 = 0,2m

v 0 = − ( 0,217 )( 3,54 ) sen(3,54 ( 0 ) + 0,3985)

 0,2 

 0,217 
δ = 0,3985rad

δ = cos−1 

v 0 = −0,299m / s

El resultado obtenido nos da el módulo de la velocidad, aprox. Vo= 0,3 pero con signo negativo.
IMPORTANTE: debemos usar un ángulo cuyo seno nos de el mismo valorpero con signo negativo
y que el coseno permanezca igual.
Este ángulo δ está en el primer cuadrante, donde tanto
los senos como los cosenos de los ángulos son positivos
Necesitamos que el coseno siga siendo positivo pero el
seno sea negativo. Esto sucede en el cuarto cuadrante.
ENTONCES PODEMOS USAR ESTE MISMO ÁNGULO
EN EL CUARTO CUADRANTE. Al ver la figura
observamos que podemos usar el mismo δpero con signo
negativo.

x = 0,217 cos(3,54t − 0,3985)(m )
De esta forma las ecuaciones quedarían:

V = −0,768sen(3,54t − 0,3985)(m / s )

Y verificando para t=0 x0 = 0,217 cos(3,54(0) − 0,3985)

es decir:

x0 = 0,2m
V0 = −0,768sen(3,54(0) − 0,3985)(m / s )

δ = −0,3985rad

V0 = 0,299m / s
2. ¿Cuál será la rapidez del oscilador cuando su posición sea x = 0,10 m ?
Esta rapidez la podemos
obtenerdirectamente a partir de
la ecuación de energía utilizada
en la Pregunta 1, una vez
despejada la Amplitud:

A2 =
V =

V 2
+ x
ω2

2

ω 2 (A 2 − x

2

)

V = 0, 682 m / s
3. ¿Cuánto tiempo tarda el oscilador en alcanzar por primera vez la
velocidad de v = − 0, 6 ˆi m s ?

Usando directamente
la función velocidad V(t),
despejamos el tiempo:
RECUERDA
CALCULADORA
estar EN RADIANES

TU
debe

V =...