Producto Escalar Y Vectorial

Nivelaci´on de Matem´atica

MTHA UNLP

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Vectores: Producto escalar y vectorial
Versores fundamentales
Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los
ejes y coincidiendo con el sentido positivo de los mismos los versores: ı, , k, cuyas
componentes son:
ı = (1, 0, 0)  = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1)
y se llaman versores fundamentales.
Todo vector A = (a1 , a2 , a3 )puede escribirse en la forma:
A = a1 ı + a2  + a3 k
Esta descomposici´on de un vector como suma de tres vectores en la direcci´on de los
ejes coordenados es muy importante y u
´til. Se llama descomposici´
on can´
onica de
un vector.
Ejemplos:
1) Vectores en el plano: dado el vector A, con origen en P (−3, 5) y extremo en
Q(4, 7); podemos escribirlo en funci´on de sus componentes como:
A = (7, 2) =7ı + 2
2) Vectores en el espacio: dado un vector C, con origen en R(3, −1, 4) y extremo
en S(0, 3, −2); podemos escribirlo en funci´on de sus componentes como:
C = (−3, 4, −6) = −3ı + 4 − 6k
3)
✻y
B = 2ı + 6
✻

✂✍
✂
✂

6

✂
✂
✂
✂
✂

✲

O 2ı

1.

✲

x

Producto escalar

Se llama producto escalar o producto interno de dos vectores A = (a1 , a2 , a3 )
B = (b1 , b2 , b3 ), al escalar:
A · B = a1 b1 + a2 b 2 + a3 b 3
Observaci´
on importante: el producto escalar entre dos vectores es un n´
umero
Ejemplos:
1) Si A1 y A2 son vectores de R2 con componentes A1 = (−1, 2) y A2 = (2, −9),
entonces el producto escalar entre ellos es:
A1 · A2 = (−1)2 + 2(−9) = −20
2) 1) Si B1 y B2 son vectores de R3 con componentes B1 = (−3, −1, 7) y B2 =
(−2, 0, 1), entonces el producto escalar entre ellos es:Nivelaci´on de Matem´atica

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B1 · B2 = (−3)(−2) + (−1)0 + 7 1 = 13
Propiedades:
1. A · B = B · A
2. A · (B + C) = A · B + A · C
3. Si λ es un n´
umero real cualquiera: (λA) · B = A · (λB) = λ(A · B)
4. Si A es el vector nulo (A = O = (0, 0, 0)), entonces A · A = 0; si A es cualquier
otro vector: A · A = |A|2
Todas estas propiedades son sencillas de demostrar usando la definici´on deproducto
escalar.
Observaci´
on: Para los versores fundamentales ı, , k, resulta que:
ı·ı=·=k·k =1

ı·=·k =k·ı=0

Teorema 1: Si A y B son dos vectores perpendiculares, entonces: A · B = 0.
✻y

A+B
 ✂✍ ❅
  ✂
❅
✂
 
✒
 
✂
 
A
✂
 
 
■
❅
◦✂  
B ❅90 ✂  
❅✂ 
O

✲

x

Si A y B son perpendiculares, A + B es la diagonal de un rect´angulo, cuyos lados
miden |A| y |B|.
Luego: |A + B|2 = |A|2 + |B|2(teorema de Pit´agoras)
Como: |A + B|2 = (A + B) · (A + B) = |A|2 + |B|2 + 2A · B (por propiedades del
producto escalar)
Por lo tanto: 2A · B = 0 que es lo mismo que:
A·B =0

1.1.

´
Angulo
entre dos vectores

Dados dos vectores A = (a1 , a2 ) y B = (b1 , b2 ). Y αA es el a´ngulo entre A y el eje
x y αB el ´angulo entre B y el eje x.
Las componentes de A son: a1 = |A| cos αA y a2 = |A|senαA . Lascomponentes de B
son: b1 = |B| cos αB y b2 = |B|senαB .
El ´angulo entre A y B es θ = αB − αA

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✻y

B

b2

✂✍
✂

a2

O

A

✂
✒
 
 
 

✂
✂
✂θ  
✂ 
✂ 

b1

a1

✲

x

A · B = a1 b1 + a2 b2 = |A| cos αA |B| cos αB + |A|senαA |B|senαB
= |A||B|(cos αA cos αB + senαA senαB ) = |A||B| cos(αB − αA )
= |A||B| cos θ
Luego:
El ´angulo θ entre dos vectores, se calcula:
cos θ=

A·B
|A||B|

Ejemplo:
El coseno del a´ngulo entre los vectores A = (3, −2, 0) y B = (−2, 1, 5) es:
8
3(−2) + (−2)1 + 0(5)
= −√
cos θ =
390
32 + (−2)2 + 02 (−2)2 + 12 + 52
Observaci´
on 1: Puesto que cos θ =

A·B

|A||B|
calcular el producto escalar entre dos vectores:

podemos deducir otra forma para

A · B = |A||B| cos θ
A·B

= 0. Pero puesto que |A| > 0 y
|A||B|
|B| > 0, tiene que ser A · B =0 y luego θ = π/2, es decir,
A es perpendicular a B.

Observaci´
on 2: Si cos θ = 0, entonces

Del Teorema 1 y de la observaci´on anterior se desprende el siguiente resultado que
nos da una condici´on para saber cuando dos vectores son perpendiculares:
Propiedad importante: Dados dos vectores A y B,
A · B = 0 es equivalente a que A es perpendicular a B
Ejemplo:
Dados los vectores: A = 3ı + 2 −...