Profesional

UNIVERSIDAD ANDINA NÉSTOR CACERES VELASQUEZ
CAP INGENIERÍA SANITARIA Y AMBIENTAL – JULIACA

Calcular las integrales definidas de las siguientes funciones con los diferentes métodos:
∫

∫

∫

√

∫

√

∫

∫

∫

∫

√

Calculo de Áreas.- utilizando la integral definida se puede calcular el área de cualquier
función.
Sea

��

una función continua en un intervalo [

Laregión limitada por
tiene por área

], tal que

��

�� ��

y el eje
Área

��

A =  f  x  dx
b

a

ver figura

Ejemplo. Halla, contando, el área de la figura del margen, la
que tiene un sigo + dentro, cada cuadradito es una unidad
cuadrada.
Solución:
Tiene exactamente

EJERCICIOS: Halle el área de cada región y trazar la grafica

1

,

��

��

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CAP INGENIERÍA SANITARIA Y AMBIENTAL – JULIACA

Cuando la función

, continua determina dos o más

��

regiones separadas por el eje , se calculan las áreas de las
regiones por separado, sumando las áreas que están por
encima del eje
eje

y restando las áreas que resultan debajo del
��

. Si el resultado final es negativo, se toma el valorabsoluto.
Donde
EJERCICIOS: Trazar la gráfica de cada función y calcular el área de cada región.

ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Se puede calcular el área de una región plana cuando está limitada por dos curvas, considerando dos
casos.

Área de la región limitada por dos curvas que no se
cruzan.
Se

una fucnion continua es un intervalo cerrado [

] con

b

f  x  dx

Entonces, el área bajo lagráfica se
Si
[

entre

es



a

para todo

en [

].

], tal que
es otra función continua en el intervalo cerrado [
, para todo en
]; y si
, entonces, el Area de la región acotada por las gráficas de y con
, se puede calcular restando el área bajo la gráfica de del área bajo la gráfica de .

Así

A =  f  x  dx  g  x  dx =   f  x   g  x   dx

a
a
ab

b

b

EJERCICIOS: Elabora la gráfica de la región descrita, luego calcular su área:

E.1 limitada por f  x  = 2x y g  x  = x 2 ,

donde x = 0, x = 2

E.2 limitada por f  x  = 6 x 2 y g  x  =  x,

donde x = 0, x = 3

E.3 limitada por f  x  = 

x y g  x = 

2

12
x,
8

donde x = 0, x = 4

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E.4 limitada por f

 x = x  2

y g  x  = x 2  x  1,

donde x =

x=

Área de la región limitada por dos curvas que se
cruzan.
El área de la región generada por dos curvas que se cruzan, es la suma de las áreas
y
teniendo en cuenta que para calcular dichas áreas es conveniente obtener los puntos en donde las
funciones se cortan. Así,

A =   f x   g  x  dx    g  x   f  x  dx


a
c
c

Siendo

b

el punto de corte de las dos funciones

Propiedades:

1) a 3  b 3 =  a  b   a 2  ab  b 2 
2) a 3 +b 3 =  a  b   a 2  ab  b 2 
3) a 4  b 4 =  a 2  b 2   a 2  b 2  =  a 2  b 2   a  b   a  b   a 3  a 2b  ab 2  b3 
4) a 4 +b 4 =  a  b   a 3  a 2b  ab 2  b3 
5) a 5  b 5=  a  b   a 4  a 3b  a 2b 2  ab3  b 4 
6) a 5  b 5 =  a  b   a 4  a 3b  a 2b 2  ab3  b 4 
3

=  a 3  3a 3b  3ab3  b3 

3

=  a 3  3a 3b  3ab3  b3 

7)

 a  b

8)

a  b

EJERCICIOS: Calcular el área limitada por las curvas dadas:

��

�� ��
�� ��
1

-1

��
x
-1

3

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��
1
�� ��
0

��������
��

��

��

r

-1

��
�� ��

��

��

��

1
��

1
�� ��

-1

��

��

INTEGRALES IMPROPIAS
Integrales impropias de primera especie.
El concepto de integral definida se refiere a funciones acotadas en intervalos cerrados [a, b], con
. Este concepto se puede extender eliminando estas restricciones. Ello da...