propiedades de los números reales

TEMA 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS
1.1 DEFINICIÓN AXIOMATICA DE LOS
NÚMEROS REALES
1.1.1 Axiomas de cuerpo
En  admitimos la existencia de dos
operaciones internas la suma y el
producto, con estas operaciones se van
a verificar las siguientes propiedades:
Respecto a la suma:
1. Conmutativa: a  b  b  a ∀a, b ∈ .
2. Asociativa: a  b  c  a  b  c,
∀a, b, c ∈ 
3. Neutro: ∃ 0∈ , tal que a  0  a, ∀a ∈
.
4. Opuesto: Dado a ∈ , ∃ −a ∈  tal que
a  −a  0.
Respecto al producto:
5. Conmutativa: a  b  b  a, ∀a, b ∈ .
6. Asociativa: a  b  c  a  b  c,

∀a, b, c ∈ .
7. Neutro:∃ 1 ∈ , tal que a  1  a, ∀a ∈
.
8. Existencia de inverso: dado a ∈ , con
a ≠ 0, ∃a −1 ∈  tal que a  a −1  1.
9. Propiedad distributiva:
a  b  c  a  b  a c, ∀a, b, c ∈ 
Consecuencias de los axiomas de
cuerpo
Proposición: Si a, b, c son números
reales, entonces:
1. a  0  0
2. a  b  0  a  0 ó b  0
3. Si a ≠ 0 y a  b  a  c, entonces
bc
1.1.2. Axiomas de orden
Vamos a definir una relación de orden en
, a partir de los dos siguientes axiomas
En  existe un subconjunto , llamado de
los reales positivos,   , que verifica:Axioma1: Para cada a ∈  se cumple
una y sólo una de las siguientes
condiciones:
i a  0
ii a ∈  
iii −a ∈  
Axioma 2: Si a y b ∈   entonces
a  b ∈  y a  b ∈ 
Estos axiomas de orden nos permiten
definir la relación de orden total que
utilizamos habitualmente en 
Orden en 
Se define el orden en  mediante la
relación:
a ≤ b  b − a ∈ 
También podemos definir elorden
estricto:
a  b a ≤ b ya ≠ b
Consecuencias de los axiomas de

orden
Sean a, b, c, d ∈ , se verifica:
1. Si a  b y b  c  a  c.
2. Si a  b  a  c  b  c.
3. Si a  b y c ∈    ac  bc.
4. Si a  b y c  0  ac  bc.
5. Si a  b y c  d  a  c  b  d.
6. Si a  0  1  0.
a
7. Si ab  0 
i a  0 y b  0
o bien,
ii a  0 y b  0.
1.1.3 Axioma del supremoDefinición: Sea S un conjunto no vacío de
números reales, supongamos que existe
un b tal que x ≤ b, ∀x ∈ S, entonces
decimos que S está
acotado superiormente y que b es una
cota superior de S.

Definición: Si b es una cota superior y
pertenece al conjunto, diremos que b es
el máximo de S.
Definición: Diremos que b es el supremo
del conjunto S cuando:
i b es cota superior.
ii b es la menorde las cotas
superiores.
Definición: Sea S un conjunto no vacío de
números reales, supongamos que existe
un b tal que b ≤ x, ∀x ∈ S, entonces
decimos que S está
acotado inferiormente y que b es una
cota inferior de S.
Definición: Si b es una cota inferior y
pertenece al conjunto, diremos que b es
el mínimo de S.
Definición: Diremos que b es el ínfimo del
conjunto S cuando:

i b escota inferior.
ii b es la mayor de las cotas
inferiores.
Observaciones
1. Un conjunto S ⊂ , o bien no tiene
ninguna cota superior, o bien tiene
infinitas.
2. Si existe el máximo de un conjunto,
éste es el supremo. Lo mismo con el
mínimo.
3. El máximo ó el mínimo de un conjunto
acotado no siempre existen.
Axioma del supremo: Todo conjunto no
vacío de números reales, acotadosuperiormente, tiene supremo, es decir,
∃b ∈  tal que b  sup S.
Lo mismo para el ínfimo.
Consecuencias del axioma del
supremo
1. Propiedad Arquimediana

Teorema: Si x ∈ , entonces existe un
nx ∈ ℕ / x  nx
2. Densidad de los racionales en los
reales.
Teorema: Si x e y son dos númeos reales
con x  y, entonces existe un número
racional r tal que x  r  y.
Es mas existen infinitosracionales.
3. Densidad de los irracionales en los
reales.
Teorema: Si x e y son dos númeos reales
con x  y, entonces existe un número
irracional z tal que x  z  y.
1.1.4 Intervalos
A partir del orden establecido se pueden
considerar los siguientes tipos de
conjuntos en , que se llaman intervalos
i Acotados

a, b  x ∈ /a  x  b
a, b  x ∈ /a ≤ x ≤ b
a, b  x ∈ /a ≤...