Resumen Analisis Matematico I

.ar
om
s.c
no
U
TN
ia

Autor:
Juan Pablo Martí

ANÁLISIS MATEMÁTICO I
UNIDAD I: RELACIONES Y FUNCIONES
Entorno y Entorno Reducido
Entorno:
E (a; δ ) (entorno de centro “a” y radio “δ”)

E (a; δ ) = (a − δ ; a + δ ) = x − a < δ
Entorno Reducido:

E * (a; δ ) = E ′(a; δ ) (no incluye al punto a)

E * (a; δ ) = (a − δ ; a) ∪ (a; a + δ ) = 0 < x − a < δ
Funciones Par e Impar
Función Par:
f: A→B serápar ⇔ ∀x ∈ Domf ⇒ f(x) = f(-x)
Característica Gráfica: Simetría respecto al eje y.
Función Impar:
f: A→B será impar ⇔ ∀x ∈ Domf ⇒ f(x) = -f(-x)
Característica Gráfica: Simetría respecto al origen de coordenadas.

UNIDAD II: LÍMITES Y CONTINUIDAD
Definición rigurosa de límite

Si lím f ( x) = l ⇔ ∀ε > 0; ∃δ (ε ) > 0 /(∀x : x ∈ Domf ∧ 0 < x − a < δ ) ⇒ f ( x) − l < ε
x →a

Propiedad del Sándwich

Silím f 1 ( x) = l ∧ lím f 2 ( x) = l ∧ ∀x ∈ E (a; δ ) : f1 ( x) ≤ f 3 ( x) ≤ f 2 ( x) ⇒ lím f 3 ( x) = l
x→a

x→ a

x→a

Algunos límites especiales

lím f ( x) = l

x → ±∞

gr. P(x) = gr. Q(x) ⇒ l = Cociente entre los coeficientes principales de los dos
polinomios.
gr. P(x) < gr. Q(x) ⇒ l = 0
gr. P(x) > gr. Q(x) ⇒ l = ∞

I.

II.
III.

Infinitésimos

f (x) es un infinitésimo en x = a ⇔ lím f ( x) =0
x→a

Funciones infinitésimas equivalentes

lím
x →0

senx
tgx
senx
tgx
x
x
= lím
= lím
= lím
= lím
= lím
=1
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
x
tgx
senx
senx
tgx

Definición de Continuidad

f (x) es continua en x = a ⇔ en a cumple con las siguientes condiciones:
1. ∃f (a )
2. ∃ lím f ( x) = l (único y finito)
x→a

3.

U.T.N. F.R.M.

l = f (a )

Página 1 de 24

Resumen de Análisis Matemático I.ar
m
no
s.c
o
U

TN

ia

Autor:
Juan Pablo Martí

Clasificación de Discontinuidad
Discontinuidad Evitable (aparente):
Cuando no existe f (a ) pero ∃ lím f ( x)
x→a

= l (único y finito). En ese caso se rearma la función con varias

reglas para que sea continua. Existe en esta función una LAGUNA.
Discontinuidad No Evitable (no removible):
Cuando no existe f (a ) y no existe l único y finito. En esecaso existe un SALTO, cuyo valor se obtiene
de

l d − l i , y puede ser finito o infinito.

Continuidad Lateral
Si

f (x) tiene límites laterales distintos en x = a , pero:
1. ∃ lím− f ( x ) = li = f ( a ) ⇒ ∃ Continuidad Lateral Izquierda
x→a

2.

∃ lím+ f ( x) = l d = f (a ) ⇒ ∃ Continuidad Lateral Derecha
x→a

Álgebra de las funciones continuas
Funciones Continuas en x = a
f (x) y k ∈ IR

⇒
⇒f (x) y g (x)
f (x) y g (x)
f (x) y g ( x) ≠ 0

⇒

f (x) y g (x) (continua en f (a ) )

⇒

⇒
⇒

Función continua en x = a

k . f ( x)
f ( x) + g ( x)
f ( x).g ( x)
f ( x)
g ( x)
( gof )( x)

UNIDAD III: DERIVADAS Y DIFERENCIALES
Recta secante y Recta tangente geométricas

Mtg (pendiente de la tangente) =

U.T.N. F.R.M.

lím

X → Xo

f ( x) − f ( x 0 )
x − x0
Página 2 de 24

Resumen de AnálisisMatemático I

om
.ar
no
s.c
U

TN

ia

Autor:
Juan Pablo Martí

Incremento e incremento de la función
Incremento:

∆x = x − x0
Incremento de la función:

∆y = f ( x) − f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
Razón de cambio promedio (cociente incremental)

∆y f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
=
=
∆x
x − x0
∆x
Razón de cambio instantánea

f ( x 0 + ∆x) − f ( x0 )
∆y
= lím
X → Xo ∆x
∆x → 0
∆x
límDefinición de derivada

y ' = f ' ( x) =

f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
dy
∆y
= Df ( x) = lím
= lím
X → Xo ∆x
∆x → 0
∆x
dx

Función derivada
Es la función que nos permite calcular la derivada en un punto en base al valor del punto elegido.
Condición: Domf ' ⊆ Domf

Interpretación geométrica de la derivada
Es la pendiente de la recta tangente en el punto.

Mtg = f ' ( x) = lím

∆x → 0

f ( x 0 + ∆x) − f( x0 )
∆x

Punto anguloso y cuspidal
Si el cociente incremental no tiene límite único y finito, entonces no existe derivada única. Lo que puede
ocurrir es:
r
1. l d ≠ l i ( finitos ) ⇒ ∃2tg ⇒ tiene dos derivadas laterales ⇒ Existe Punto Anguloso

(l = +∞) ∨ (l = −∞) ⇒ tiene derivada infinita
r
3. l = ±∞ ⇒ ∃2tg (coincidentes verticales), una con Mtg = +∞ y la otra
con Mtg = −∞ ⇒ Existe Punto...