Resumen Calculo III chino

Resumen: Calculo Vectorial (MAT1630,
2015-1)
Juyoung Wang
Pontificia Universidad Catolica de Chile

1 Derivadas parciales
1.1 Funcion de n variables
Sea A el dominio de una funcion f , lo llamaremos como una funcion de n variables, si (x1 , · · · , xn ) ∈ U ⊂
Rn con n > 1. Se denota mediante la siguiente notacion:
f : U ⊂ Rn → R
• Grafico de f :
Sea f : U ⊂ Rn , definiremos el grafico de f comoel subconjunto de Rn+1 y lo denotaremos como:
Gra f ( f ) = {(x1 , · · · , xn , f (x1 , · · · , xn )) ∈ Rn+1 |(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn }

• Conjunto de nivel:
Sea f : U ⊂ Rn → R y sea c ∈ R, entonces el conjunto de nivel del valor c se define como aquellos
puntos x ∈ U para los cuales f (x) = c.
{x ∈ U| f (x) = c ⊂ Rn }

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1.2 Limites y continuidad
• Conjunto abierto:
Sea U ⊂ Rn ,decimos que es un conjunto abierto, cuando:
∀x0 ∈ U, ∃r > 0

| Br (x0 ) ∈ U

donde:
– Br (x0 ) es el interior de una bola de radio r con su centro en x0 . Se define como el conjunto de
todos los puntos x tales que x − x0 < r. Es decir, no incluye el borde.
– ∂ A es la frontera del conjunto A.

y por convencion, diremos que un conjunto vacio es un conjunto abierto.
• Limite:
Sea f : U ⊂ Rn → R, donde Ues conjunto abierto, sea x0 un punto en U o en su frontera, y sea V
una vecindad de b ∈ R, decimos que f esta eventualmente en V con x tendiendo a x0 , si existe una
vecindad A de x0 tal que x = x0 , x ∈ A y entonces x ∈ U implica f (x) ∈ V . Dicho de manera mas
simple, podemos decir que f (x) tiende a b.
lim f (x) = b

x→x0

– Teorema de unicidad de limite:
Si lim f (x) = b1 ∧ lim f (x) = b2 ⇒ b1= b2 .
x→x0

x→x0

– Argumento Epsion Delta para el limite de una funcion de varias variables:
Sea f : A ⊂ Rn → R una funcion dada, entonces f es continua, ssi:
∀ε > 0, ∃δ > 0 | (x ∈ A ∧ x − x0 < δ ) ⇒ f (x) − f (x0 ) < ε
– Propiedades del limite:
Sean f : A ⊂ Rn y g : A ⊂ Rn , con x0 ∈ (A ∨ ∂ A), con limx→x0 f (x) = b1 y limx→x0 g(x) = b2
entonces:
1) limx→x0 ( f (x) ± g(x)) = b1 ± b2
2) limx→x0f (x) · g(x) = b1 · b2
f (x)
3) limx→x0 g(x)
=

b1
b2 ,

ssi b2 = 0

4) c · limx→x0 f (x) = c · b1 , donde c ∈ R.

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• Continuidad:
Sea x0 ∈ D, sea f : D ⊆ Rn → R una funcion y D un conjunto abierto, diremos que f es continua
en x0 si:
lim f (x) = f (x0 )
x→x0

Utilizando esto, podemos definir la siguiente propiedad: Sea f ∧ g funciones continua en x0 ∈ D
con f : D ⊆ Rn → R,entonces:
– f ± g tambien es continua en x0 .
– f · g tambien es continua en x0 .
–

f
g

tambien es continua en x0 , ssi g(x0 ) = 0.

• Tecnicas para verificar la existencia del limite:
Primeramente, deberiamos verificar si los valores de los limites iterados son distintos:
lim

f (x, y)

(x,y)→(x,0)

∧

lim

f (x, y)

(x,y)→(0,y)

– Si son distintos: No existe el limite.
– Si son iguales:
∗ Usar y = kx∨ y = xm .
∗ Usar una conversion adecuada, haciendo que no sea cero, el valor del denominador, como
por ej: (t n ,t m ), (t n − t,t), etc.
∗ Usar Teorema de Sandwich.
∗ Usar coordenadas polares: Si logramos obtener algun valor definido mediante esta
conversion, entonces el limite tendra ese valor. Sino, no podemos afirmar nada acerca del
limite.
x = r · cos(θ ) ∧ y = r · sin(θ )
∗ Usar ε y δ .

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1.3 Diferenciabilidad
• Derivada parcial:
Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U ⊂ Rn → R una funcion con valores reales, entonces
definiremos la derivada parcial de f respecto a j-esimo variable como:
fx j (x1 . · · · , x j , · · · , xn ) =

f (x + h · e j ) − f (x)
∂f
(x1 . · · · , x j , · · · , xn ) = lim
h→0
∂xj
h

y esto lo podemos calcular, tomando las variables distintas de x jcomo constantes.
– Gradiente:
Se define como un vector compuesto por las derivadas parciales de las variables de una funcion
f : Rn → R.
∂f
∂f
,··· ,
]
∇f = [
∂ x1
∂ xn
∗ Propiedad:
Sea z = f (x, y) = p(x) + q(y) + r(x, y) una funcion, esto lo podemos despejar de manera
que S : p(x) + q(y) + r(x, y) − z = 0. De esta manera, definiremos la nueva funcion
F(x, y, z) = p(x) + q(y) + r(x, y) − z,...