Resumen de diagonalización ortogonal

Diagonalización ortogonal (resumen)
Diagonalización ortogonal
Un caso particular de diagonalización por semejanza tiene lugar cuando ésta se
realiza mediante una matriz ortogonal, esto es, una matriz P tal que P -1 = Pt .
Una matriz A se dice diagonalizable ortogonalmente si existe P ortogonal tal que
Pt AP es diagonal.
La ortogonalidad tiene que ver con el producto interno de vectores en ¡n .
Dados u = ( x1 ,K , xn ), v = ( y1 ,K , yn ) Î ¡ n , se define su producto escalar así:
n

u × v = å xi yi
i =1

Así pues, se trata de una aplicación
(-, -) : ¡ n ´ ¡ n ® ¡
Este producto posee, entre otras, las siguientes propiedades:
1. u × v = v × u
2. u × (v + w) = u × v + u × w
3. (au ) × v = a (u × v), a Î ¡

4. u × u ³ 0
5. u × u = 0 Û u = 0

Nota. En general, se defineun producto escalar en ¡ n como cualquier aplicación
(-, -) : ¡ n ´ ¡ n ® ¡ verificando las propiedades 1-5 anteriores. Así, el producto
interno que hemos definido es un ejemplo de producto escalar, aunque existen
otros muchos, como veremos más adelante.
Este producto escalar interno da lugar a la definición de norma de un vector:
u = u ×u =

n

å xi2
i =1

La norma verifica lassiguientes propiedades:
1. u ³ 0
2. u = 0 Û u = 0
3. ku =| k | u , k Î ¡ .
1

Diagonalización ortogonal (resumen)
Dos vectores u y v se dicen ortogonales si u × v = 0 . Una base B = {u1 ,K , un } se
dice ortonormal si los vectores son ortogonales dos a dos y todos tienen norma 1:
ì1, i = j
ui × u j = d ij = í
î0, i ¹ j
Si colocamos los vectores ui como columnas de la matriz, P = ( u1 L un) , se tiene
æ u1 × u1 K u1 × un ö
ç
÷
Pt P = ç M
O
M ÷
çu ×u L u ×u ÷
n
nø
è n 1
es decir, P es ortogonal si y sólo si sus columnas forman una base ortonormal, es
decir, es la matriz asociada a una base ortonormal.
Teorema. A (o f) es diagonalizable ortogonalmente si y sólo si existe una base
ortonormal de vectores propios.
Es evidente que si A es diagonalizable ortogonalmente, essimétrica:

(

Pt AP = D Þ A = PDPt Þ At = PDPt

) = (P ) D P
t

t t

t

t

= PDPt = A

A continuación veremos que el recíproco también es cierto.
Coeficientes de Fourier
Las coordenadas de un vector u en una base ortogonal B = {u1,K , un } vienen
dadas por:
u=

u.u1
u1

2

u1 + L +

u .un
un

2

En particular, si B es ortonormal, u = (u.u1,K, u.un )B .Complemento ortogonal
Diremos que un vector v es ortogonal a un subespacio U, representado por
v ^ U , si v es ortogonal a cada uno de los vectores de U. Si U = u1,K , ur , se
verifica que v ^ U Û v ^ ui , para 1 £ i £ r .

2

Diagonalización ortogonal (resumen)
Proposición. El conjunto U ^ = {v : v ^ U } , llamado complemento ortogonal de
U, es un subespacio vectorial. Además, V = U Å U ^ .Las ecuaciones cartesianas de U ^ se pueden calcular así:
ì x ^ u1
ìx .u1 = 0
ï
ï
x ÎU Û í M
Ûí M
ïx ^ u
ïx .u = 0
î
r
î r
^

es decir, sus coeficientes son las coordenadas de los vectores de una base de U.
Proposición. Los valores propios de una matriz real simétrica son todos reales.
Proposición. Vectores propios de subespacios propios distintos son ortogonales.
Proposición. Unconjunto de vectores ortogonales dos a dos, es linealmente
independiente.
·

El procedimiento de Gram-Schmidt permite pasar de una base
B = {v1 ,K , vn } a una base ortonormal B¢ = {u1 ,K , un } :
u1 =

v1
v1

¢
u2 = v2 - (v2 × u1 )u1 ; u2 =

¢
u2
¢
u2

L
¢
uk = vk - (vk × uk -1 )uk -1 L - (vk × u2 )u2 - (vk × u1 )u1 ; uk =

¢
uk
¢
uk

Definición. En endomorfismo f sedice simétrico si verifica: u.f (v ) = f (u ).v ,
"u, v Î V .
Proposición. Un endomorfismo f es simétrico si y sólo si su matriz asociada
respecto a una base ortonormal es simétrica.
Teorema. Toda matriz real simétrica es diagonalizable ortogonalmente.
En primer lugar, si A es simétrica real, es diagonalizable por semejanza, es
decir, podemos obtener bases de los subespacios propios, cuya...