Semana13 Calculo 2

Universidad T´
ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´atica

Coordinaci´
on de Matem´
atica I (MAT021)
1er Semestre de 2011
Semana 13: Lunes 30 de Mayo – Viernes 3 de Junio

C´
alculo
Contenidos
∙ Clase 1: Ejercicios de Regla de L´Hˆ
opital para Formas Exponenciales
∙ Clase 2: M´
aximos y M´ınimos - Teorema de Weierstrass - Puntos Cr´ıticos

1

Clase 1

1.1

Ejercicios para uso de laRegla de L´Hˆ
opital

1. Algunos ejercicios con lo de la clase anterior
ln(𝑥)
cot(𝑥)
(
)
1
1
− 2
(b) lim
𝑥→0 sen2 (𝑥)
𝑥
(a) lim

𝑥→0

2. Ejercicios para practicar l´ımites de tipo exponencial
3
(a) lim cos(2𝑥) 𝑥2
𝑥→0

(b) lim 𝑥𝑥
𝑥→0

(c)

1

lim 𝑥 𝑥

𝑥→+∞

1

(d) lim 𝑥 1−𝑥
𝑥→1

(e) lim 𝑥sen(𝑥)
𝑥→0

(f) lim (1 − 𝑥)cos

𝜋𝑥
2

𝑥→1

1

(g) lim (1 + 𝑥2 ) 𝑥
𝑥→0

(h) lim cot(𝑥)sen(𝑥)
𝑥→0

3. Mostrar quelos l´ımites siguientes no pueden hallarse por L’Hˆopital. Determ´ınelos de manera directa.
𝑥2 sen( 𝑥1 )
𝑥→0
sen(𝑥)
𝑥 − sen(𝑥)
(b) lim
𝑥→∞ 𝑥 + sen(𝑥)
(a) lim

4. Hallar (en caso de existir) todas las as´ıntotas de la funci´on:
𝑥2 + 1
𝑓 (𝑥) = √
𝑥2 − 1
MAT021 (C´alculo)

1

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ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´atica

2

Clase 2

2.1

Aprendizajes esperados

∙ Reconoceconceptos de m´
aximos y m´ınimos, diferenciando entre extremos locales y absolutos.
∙ Aplica el teorema de Weierstrass para garantizar extremos globales.
∙ Reconoce el concepto de punto cr´ıtico y su relaci´on con los extremos de una funci´on.
∙ Calcula extremos absolutos de funciones derivables por partes definidas en intervalos cerrados.

2.2

Definici´
on m´
aximo y m´ınimo.

Definici´
on 2.1 (M´aximo local). Se dice que una funci´on 𝑓 tiene un m´
aximo local en 𝑐 ∈ ℝ si existe un intervalo
abierto 𝐼, sobre el cual 𝑓 est´
a definida, tal que 𝑐 ∈ 𝐼 y ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 (𝑐) ≥ 𝑓 (𝑥).
Definici´
on 2.2 (M´ınimo local). Una funci´
on 𝑓 se dir´a que tiene un m´ınimo local en 𝑐 ∈ ℝ si existe un intervalo
abierto 𝐼, sobre el cual 𝑓 est´
a definida, tal que 𝑐 ∈ 𝐼 y ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 (𝑐) ≤ 𝑓 (𝑥).
Definici´
on 2.3 (M´aximo global sobre un intervalo). Una funci´on 𝑓 tiene un m´
aximo global sobre un intervalo 𝐼
dado, si existe 𝑐 ∈ 𝐼 tal que ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 (𝑐) ≥ 𝑓 (𝑥).
Definici´
on 2.4 (M´ınimo absoluto en un intervalo). Una funci´on 𝑓 se dir´a tiene m´ınimo global en un intervalo 𝐼
dado, si existe 𝑐 ∈ 𝐼 tal que ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 (𝑐) ≤ 𝑓 (𝑥).
Observaci´
on 2.1. Los valores m´
aximo y m´ınimo global son conocidos tambi´en comoextremos absolutos o globales.

2.2.1

Ejercicios Tipo

∙ Sea 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 con 𝑥 ∈ 𝐼 = [1, 4). ¿Cu´
al es el m´ınimo global de 𝑓 en este intervalo? ¿Por qu´e no se puede
decir que hay un m´
aximo global en 𝐼?
∙ Sea 𝑓 la funci´
on definida por

𝑓 (𝑥) =

⎧
𝑥+1


⎨

𝑠𝑖

𝑥2 − 6𝑥 + 7


⎩

𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥

𝑥<1
𝑥 ∈ [−5, 4]

Determine m´
aximos y m´ınimos locales y globales en el intervalo donde 𝑓 est´adefinida.
∙ Sea 𝑓 (𝑥) = 𝑥/(1 − 𝑥2 ) ¿Existe un valor m´aximo o m´ınimo?
∙ Sea 𝑓 (𝑥) = (𝑥2 − 3𝑥). Determine valores m´ınimos y/o m´aximos y eval´
ue 𝑓 ′ (𝑥) en los valores encontrados.
∙ Sea 𝑓 (𝑥) = ∣𝑥∣. ¿Qu´e tipo de punto (m´aximo/m´ınimo) es 𝑥 = 0? ¿Qu´e puede decir de la derivada de la
funci´
on en este punto?

2.3

Teorema de Weierstrass.

Teorema 2.1 (Weierstrass). Sea 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → ℝ una funci´
oncontinua entonces, existen 𝑥1 , 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏] tales que
𝑓 (𝑥1 ) ≤ 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑓 (𝑥2 ).
En otras palabras, se dice: Una funci´
on continua definida en un intervalo cerrado siempre alcanza su m´
aximo y
m´ınimo.

MAT021 (C´alculo)

2

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2.3.1

Ejercicios Tipo

∙ Sea 𝑓 (𝑥) = sen(𝑥), 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]. ¿Alcanza 𝑓 su m´aximo y su m´ınimo en [0,2𝜋]?
∙ Sea 𝑓 (𝑥) = 1/𝑥, 𝑥 ∈ 𝐼 = [𝑘, 1] para 0 < 𝑘 < 1. ¿Alcanza 𝑓 su m´aximo y m´ınimo en 𝐼?
¿Qu´e sucede con el caso 𝑘 = 0? Sugerencia: 𝑓 no est´a definida en 𝑥 = 0.
∙ Considere 𝑓 como
{
𝑓 (𝑥) =

0 si
1 si

𝑥<0
𝑥≥0

¿Alcanza 𝑓 su m´
aximo y m´ınimo en [−1, 1]? ¿Este hecho contradice al teorema anterior?
∙ Considere 𝑓 como
{
𝑓 (𝑥) =

𝑥2
𝑥+2

si 𝑥 < 2
si 𝑥 ≥ 2

¿Est´
a acotada esta funci´
on en el...