serie de potencias.
Páginas: 8 (1938 palabras)
Publicado: 15 de octubre de 2013
Tema
4
Series
de
Potencias
Una expresi´on de la forma
+∞
a0
+a1(x −c)+a2(x −c)2
+ ... + an(x −c)n +... = an(x −c)n
n=0
recibe el nombre de serie
de
potencias
centrada en c.
Una serie de potencias puede ser interpretada como una funci´on de x
+∞
f(x)= X an(x −c)n
n=0
cuyodominio es el conjuntodelos x 2 R
para los que la serie esconvergente
y el valor de f(x)es, precisamente, la suma de la serie en ese punto x.
Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento
bueno,enelsentidodeque sonfunciones continuasyderivablesde cualquier
orden. M´as a´un, su funci´on derivada es, otra vez, una serie de potencias.
Desde un punto de vista m´as pr´actico, las series de potencias aproximan
a sufunci´on suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es m´as
que un polinomio de grado n a lo sumo, representa una aproximaci´on a la
funci´on suma ensu dominiodeconvergencia.Enlasiguiente figura, Fig. 4.1,
puede verse la funci´on f(x)= e
x junto con algunas aproximaciones mediante
sumas parcialesde suseriedepotencias.
77
Figura 4.1: Aproximaci´on a e
x por su serie depotencias
4.1.
Radio
de
convergencia
Nuestroobjetivoahoraser´a determinareldominiodeunaseriedepotencias.
Por una parte est´a claro que el centro c siempre est´a en el dominio ya que
+∞
X c)n
f(c)= an(c −= a0
n=0
Puedeocurrirque la serie s´olosea convergente en x = c, pero, en general,
78
el campo de convergencia ser´a un intervalo; como nos indica el resultadosiguiente.
+∞
Teorema 4.1 Sea
(x−c)n.Entoncesescierta una,y s´olouna,delas
an
n=0
tres afirmaciones siguientes:
1. La serie s´olo converge en x = c.
2. Existen
R> 0 de manera que la serie converge (absolutamente) si
|x −c|R.
3. La serie converge para todo x 2 R.
Al n´umero R se le llama Radio
de
convergencia
de la serie. Para unificar
todos loscasos, entendemos en el caso (1) que R =0,y enel caso(3) que
R =+1.
Por tanto el dominio o campo de convergencia de una serie de potencias es
siempreunintervalo,ocasionalmenteunpunto,que llamaremos intervalo
de
convergencia. Notar que el teorema precedente no afirma nada respecto de
la convergencia en los extremos del intervalo, c −R y c +R.
Veremos seguidamente una f´ormula paracalcular el radio de convergencia:
+∞
Teorema 4.2(Cauchy-Hadamard) Sea
an
(x−c)n
y
sea A :=l´ım
n
|an|.
n
n=0
Entonces,
A =0 ) R =+∞
A =+1) R =0
1
0 4. Para averiguar la convergencia en los extremos del intervalo
ser´a necesario hacer el estudio particular.
++
+
∞
X
∞
X
∞
X
3
n
3
4n
4 ⇒(divergente)
x =
= n
4n
n=1
n=1
+
∞
X
3
n
3
(−4)n
(−1)n
x =
−4 ⇒
(divergente)
=
n
4n
∞
X
n=1
n=1
Concluimos, finalmente, que el intervalo de convergencia es I =] −4,4[.
+
n
x
Ejemplo 4.4 Sea la serie depotencias
. Para calcular su radio de
n
n=1
1
p|anconvergencia llamamos an =
y obtenemos
n
n
11
n
=l´ım p
A =l´ım
|=l´ım
1 ) R =1
=
n n n
n
n
n
∞
X
∞
X
As´ı pues, la serie es (absolutamente) convergente si |x|< 1 y divergente
si |x|> 1. Para averiguar la convergencia en los extremos del intervalo
ser´a necesario realizar el estudio particular.
++
1n
1
∞
Xx =1 ⇒
=
(divergente)
nn
n=1
n=1
+
(−1)n
x =
−1 ⇒
(convergente)
∞
X
n
n=1
Concluimos, finalmente, que el intervalo de convergencia es I =[−1,1[.
+
(2x)n
Ejercicio 4.1 Calcula el radio de convergencia de la serie
.
n2
n=1
1
(Sol.: R =
)
2
81
+
.
n=0
(Sol.: I = R...
4
Series
de
Potencias
Una expresi´on de la forma
+∞
a0
+a1(x −c)+a2(x −c)2
+ ... + an(x −c)n +... = an(x −c)n
n=0
recibe el nombre de serie
de
potencias
centrada en c.
Una serie de potencias puede ser interpretada como una funci´on de x
+∞
f(x)= X an(x −c)n
n=0
cuyodominio es el conjuntodelos x 2 R
para los que la serie esconvergente
y el valor de f(x)es, precisamente, la suma de la serie en ese punto x.
Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento
bueno,enelsentidodeque sonfunciones continuasyderivablesde cualquier
orden. M´as a´un, su funci´on derivada es, otra vez, una serie de potencias.
Desde un punto de vista m´as pr´actico, las series de potencias aproximan
a sufunci´on suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es m´as
que un polinomio de grado n a lo sumo, representa una aproximaci´on a la
funci´on suma ensu dominiodeconvergencia.Enlasiguiente figura, Fig. 4.1,
puede verse la funci´on f(x)= e
x junto con algunas aproximaciones mediante
sumas parcialesde suseriedepotencias.
77
Figura 4.1: Aproximaci´on a e
x por su serie depotencias
4.1.
Radio
de
convergencia
Nuestroobjetivoahoraser´a determinareldominiodeunaseriedepotencias.
Por una parte est´a claro que el centro c siempre est´a en el dominio ya que
+∞
X c)n
f(c)= an(c −= a0
n=0
Puedeocurrirque la serie s´olosea convergente en x = c, pero, en general,
78
el campo de convergencia ser´a un intervalo; como nos indica el resultadosiguiente.
+∞
Teorema 4.1 Sea
(x−c)n.Entoncesescierta una,y s´olouna,delas
an
n=0
tres afirmaciones siguientes:
1. La serie s´olo converge en x = c.
2. Existen
R> 0 de manera que la serie converge (absolutamente) si
|x −c|R.
3. La serie converge para todo x 2 R.
Al n´umero R se le llama Radio
de
convergencia
de la serie. Para unificar
todos loscasos, entendemos en el caso (1) que R =0,y enel caso(3) que
R =+1.
Por tanto el dominio o campo de convergencia de una serie de potencias es
siempreunintervalo,ocasionalmenteunpunto,que llamaremos intervalo
de
convergencia. Notar que el teorema precedente no afirma nada respecto de
la convergencia en los extremos del intervalo, c −R y c +R.
Veremos seguidamente una f´ormula paracalcular el radio de convergencia:
+∞
Teorema 4.2(Cauchy-Hadamard) Sea
an
(x−c)n
y
sea A :=l´ım
n
|an|.
n
n=0
Entonces,
A =0 ) R =+∞
A =+1) R =0
1
0 4. Para averiguar la convergencia en los extremos del intervalo
ser´a necesario hacer el estudio particular.
++
+
∞
X
∞
X
∞
X
3
n
3
4n
4 ⇒(divergente)
x =
= n
4n
n=1
n=1
+
∞
X
3
n
3
(−4)n
(−1)n
x =
−4 ⇒
(divergente)
=
n
4n
∞
X
n=1
n=1
Concluimos, finalmente, que el intervalo de convergencia es I =] −4,4[.
+
n
x
Ejemplo 4.4 Sea la serie depotencias
. Para calcular su radio de
n
n=1
1
p|anconvergencia llamamos an =
y obtenemos
n
n
11
n
=l´ım p
A =l´ım
|=l´ım
1 ) R =1
=
n n n
n
n
n
∞
X
∞
X
As´ı pues, la serie es (absolutamente) convergente si |x|< 1 y divergente
si |x|> 1. Para averiguar la convergencia en los extremos del intervalo
ser´a necesario realizar el estudio particular.
++
1n
1
∞
Xx =1 ⇒
=
(divergente)
nn
n=1
n=1
+
(−1)n
x =
−1 ⇒
(convergente)
∞
X
n
n=1
Concluimos, finalmente, que el intervalo de convergencia es I =[−1,1[.
+
(2x)n
Ejercicio 4.1 Calcula el radio de convergencia de la serie
.
n2
n=1
1
(Sol.: R =
)
2
81
+
.
n=0
(Sol.: I = R...
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