serie de taylor










Capítulo 9


Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor




En la representación (e incluso en la construcción) de funciones, desempeñan un papel especial- mente destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de su estudio corresponden a la teoría de funciones de variable compleja más que a la teoría de funciones devariable real, por lo que aquí damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes para nuestros propósitos. Como referencia utilizamos [AP OS TO L 1].


9.1. Series de potencias

9.1.1. Convergencia de las series de potencias

Definición 9.1.1. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma

∞
∑ an(x − c)n.
n=0

El número real an se denomina coeficienten-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término
n-ésimo de la serie es an(x − c)n). Si los coeficientes a0, a1, am
1 son nulos, la serie suele escribirse
∞ −
∑ an(x − c)n.
n=m

En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos.Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios.
¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x = c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situación es bastante satisfactoria: veamos algunosejemplos.

Ejemplos. a) La serie geométrica

∞
∑ xn
n=0

converge (absolutamente) si y solo si x ( 1, 1) (con suma 1 , como sabemos).
1−x

189


b) La serie

∞ xn
∑
n=1
converge si y solo si x ∈ [−1, 1). Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente.

c) La serie
∞ xn
∑ 2
n=1
converge (absolutamente) si y solo si x ∈ [−1, 1].

d) La serie
∞
∑
n=1
(−1)n x2nn
converge si y solo si x ∈ [−1, 1]. Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente.

e) La serie
∞ xn
∑
n=0
converge (absolutamente) para todo x ∈ R (y la suma es ex ).

f) La serie



converge solamente para x = 0.
∞
∑ n! xn
n=0

Lema 9.1.2. Si para algún r ∈ (0, +∞) la sucesión (anrn) está acotada, entonces para cada x ∈ R tal
∞
que |x − c| < r la serie ∑ an(x − c)n esabsolutamente convergente.
n=0
Demostración. Sea M tal que para todo n ≥ 0 se tenga |anrn| ≤ M. Entonces

0 ≤ |an(x − c)n| = |an|rn

y como la serie geométrica
! |x − c| "n
r
! |x − c| "n
≤ M r
∞
∑
n=0
∞
! |x − c| "n
r
converge, se deduce que la serie ∑ |an(x − c)n| también converge.
n=0

∞
Definición 9.1.3. Dada una serie de potencias ∑ an(x − c)n, su radio de convergenciaes el valor
n=0
(finito o infinito) dado por

∞
R = sup{|x − c| : ∑ an(x − c)n converge}.
n=0

Si R > 0, el intervalo (c − R, c + R) se denomina intervalo de convergencia de la serie de potencias.

∞
Teorema 9.1.4. Dada una serie de potencias ∑ an(x − c)n con radio de convergencia R, se tiene:
n=0

∞
a) Si |x − c| < R, la serie ∑ an(x − c)n converge absolutamente.
n=0

b) Si |x− c| > R, la serie no converge y la sucesión (an(x − c)n) no está acotada.

Nota. Según los ejemplos previos, cuando R es finito no puede decirse nada en general sobre la convergencia en los puntos c + R, c − R.

Demostración. De la definición de R se deduce que si |x − c| < R, debe existir un punto x1 tal que
∞∞
|x − c| < |x1 − c| y ∑ an(x1 − c)n converge. Aplicando el lema 9.1.2, ∑ an(x − c)n debe converger
n=0
n=0
absolutamente. Esto demuestra a). La parte b) es una consecuencia directa de la definición de R.


∞
Ejemplos. a) La serie ∑ xn tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para x = −1
n=1
es oscilante.

∞ xn
b) La serie
∑...