Series De Fourier

CAPITULO 7.SERIES DE FOURIER
La publicación por Fourier (1768- 1830) de la " Teoría analítica del calor ", fue de una influencia decisiva en
las matemáticas posteriores. Se supone en ella que cualquier función puede desarrollarse en serie de senos y
cosenos (serie de Fourier) . Ya Daniel Bernouilli había considerado series de este tipo en la resolución del
problema de la cuerda vibrante yEuler (1707-1783) había obtenido los coeficientes de sen kx y cos kx en el
desarrollo mencionado, pero fue a partir de Fourier cuando la posibilidad de expresar una función mediante
una serie trigonométrica empezó a ser ampliamente discutida. El escepticismo de los que no veían clara la
cuestión de convergencia se disipa cuando los desarrollos de Fourier de funciones sencillas para ciertosvalores particulares conducen resultados numéricos conocidos como verdaderos por haber sumado ya Euler
con anterioridad. Posteriormente Poisson (1781-1840) y Cauchy (1789-1857) intentaran justificar la
convergencia, siendo el primer teorema valido de convergencia de series de Fourier debido a Dirichlet
(1805-1859)

7.1. Sistemas de funciones ortogonales

Sea la sucesión de funciones definidas ycontinuas en el intervalo [a, b]
f0(x), f1(x), f2(x), f3(x)…………………………......

(1)

De forma que si m y n son números enteros positivos (0, 1,2,……) se verifica

∫

()

()

∫

()

()

La sucesión de funciones definidas por (1), forman un sistema ortogonal de funciones en el intervalo (a, b),
cuando kn =1, el sistema se llama normal .La normalización de un sistema de funcionesortogonales se
consigue dividiendo cada función por √

Supongamos definida una función f (x), por una serie uniformemente convergente en (a, b), f(x) será una
función continua, ya que toda serie uniformemente convergente define una función continua en su intervalo
de convergencia
f(x)= a0f0(x) + a1f1 ,(x) + a2f2(x) + a3f3(x) +………………………..

(2)

Si las funciones f n(x), forman un sistemaortogonal de funciones, la serie (2) es un serie de Fourier de f (x),
los coeficientes

n(

, se obtienen multiplicando los términos de la ser (2) por

) e integrando.

Ejemplo1. Las funciones trigonométricas (cos nx, sen nx) forman un sistema ortogonal de funciones en el

intervalo (

) ya que se verifica:

∫

∫

Este sistema ortogonal de funciones se normaliza, dividiendo cadafunción por √ , luego el sistema

*

√

es un sistema normal de funciones en ( - ,

+

√
)

7.2. Aproximación de funciones por la suma de términos de un sistema ortogonal
Vamos a suponer que deseamos aproximar una función f(x), continua en [a, b] por medio de la funciones
continuas dadas por fi(x) (i = 0, 1, 2,.. n). Consideremos la expresión

Sn(x) = a0 f0(x) +a2 f1 (x)+............... +a n f n (x)
Los coeficientes

han de ser calculados con la condición de que la aproximado a f (x) sea la

mejor posible, para calcular el error que se comete al aproximar la función, por Sn (x), vamos a aplicar el
método de los mínimos cuadrados .El error que se comete será

()

∫(

()

()

( ))

La condición de que el error sea mínimo, nos lleva a las siguientes condiciones∫(

()

()

()

( ))

()

=0

……………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………

()

∫(

()

()

( ))

()

=0

El sistema anterior adopta la forma

∫

()

()

()

∫

()

∫

()

()

∫

()

()

………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
∫

()

()

()

∫

()

∫

()

()∫

()

()

El sistema de funciones es ortogonal, los coeficientes serán

∫

()

()

∫

()

()

Fourier empleo el sistema (cos n x, sen n x) de funciones ortogonales para aproximar funciones periódicas,
por lo que a los coeficientes

se les denomina coeficientes de Fourier de la función f(x) respecto al

sistema ortogonal de funciones dado. Cuando

, la función puede...